2024年高考数学第一轮复习41_专题资料包（专题试卷+讲解PPT）

专题五　三角函数与解三角形

一、单项选择题

1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tan α=,则sin α= (　　)

A. B. C. D.

答案　B　由tan α=,可得cos2α=2sin α-sin2α,所以2sin α=cos2α+sin2α=1,则sin α=.故选B.

2.(2023届贵州联考,9)若cos α-3cos β=2,sin α+3sin β=1,则cos(α+β)= (　　)

A.- B. C.- D.

答案　B　由cos α-3cos β=2,两边平方可得cos2α-6cos αcos β+9cos2β=8①.

由sin α+3sin β=1,两边平方可得sin2α+6sin αsin β+9sin2β=1②.

①+②可得1+9+6(sin αsin β-cos αcos β)=9,

所以cos αcos β-sin αsin β=,

即cos(α+β)=,故选B.

3.(2023届长春第二实验中学月考,6)已知sin,则sin= (　　)

A. B. C. D.

答案　D　因为sin,

所以sin.故选D.

4.(2023届山西临汾期中,5)为了得到y=sin 3x的图象,只需将y=cos的图象 (　　)

A.向左平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

答案　B　设f(x)=cos,

则f=cos(3x+2π)=cos 3x, f=sin 3x, f=cos(3x-4π)=cos 3x,f=cos(3x-π)=-cos 3x,所以只需将y=cos个单位长度,即可得到y=sin 3x的图象.故选B.

5.(2023届昆明一中双基检测三,4)若函数f(x)=,则f(x)的值域为(　　)

A.[,+∞) B.

C.[1,] D.

答案　D　f(x)=,∵x∈,∴,∴tan,即f(x)∈,故选D.

6.(2023届皖南八校开学考,9)函数f(x)=tan的图象的一个对称中心为 (　　)

A. B.

C. D.

答案　D　令2x-,k∈Z,则x=,k∈Z,当k=-1时, f(x)的一个对称中心为.故选D.

7.(2023届赣南五校期中,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,A=,C=,则b=              (　　)

A.2       B.2 C.2       D.6

答案　C　由已知得B=π-A-C=,由正弦定理得b=.故选C.

8.(2022哈尔滨三中二模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若sin(A+C)=,则tan A+的取值范围为              (　　)

A. B.

C. D.

答案　C　在△ABC中,sin(A+C)=sin B,S=acsin B,

故由sin(A+C)=得b2-a2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得c=2acos B+a,

所以由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A,

又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

所以sin(B-A)=sin A,

故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A.

又△ABC为锐角三角形,所以,故<tan A<1,

故tan A+,故选C.

二、多项选择题

9.(2022河北仿真模拟卷(二),9)已知tan θ=2,则下列结论正确的是 (　　)

A.tan(π-θ)=-2

B.tan(π+θ)=-2

C.

D.sin 2θ=

答案　ACD　对于A,tan(π-θ)=-tan θ=-2,故A正确;对于B,tan(π+θ)=tan θ=2,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,sin 2θ=

2sin θcos θ=,故D正确.故选ACD.

10.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),10)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下命题正确的是              (　　)

A.sin 2α= B.cos(α-β)=

C.cos αcos β= D.tan αtan β=

答案　ABC　因为cos(α+β)=-,cos 2α=-(α,β为锐角),故sin(α+β)=,

sin 2α=,故A正确;cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+

sin 2αsin(α+β)=,故B正确;由cos(α-β)=cos αcos β+

sin αsin β=,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,得cos αcos β=·[cos(α+β)+cos(α-β)]=,故C正确;

sin αsin β=×[cos(α-β)-cos(α+β)]=,所以tan αtan β==3,故D错误,故选ABC.

11.(2022山东烟台、德州一模,9)将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则              (　　)

A. f(x)=cos

B.是f(x)图象的一个对称中心

C.当x=-时, f(x)取得最大值

D.函数f(x)在区间上单调递增

答案　BD　A,将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin 2,错误;

B,f =0,则是f(x)图象的一个对称中心,正确;

C,f =-1,故当x=-时, f(x)取得最小值,错误;

D,由x∈,可得2x-,易知函数y=sin x在上单调递增,则函数f(x)=sin上单调递增,正确.故选BD.

12.(2022新高考信息检测原创卷(七),12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),则以下四个结论中正确的是              (　　)

A.b=2c

B.△ABC面积的取值范围为

C.已知M是BC边的中点,则

D.当A=2C时,△ABC的周长为2+2

答案　ABD　对于A,∵a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),a=2,∴a(cos C-2cos B)=cos A(2b-c),∴sin Acos C+cos Asin C=2(sin Acos B+cos Asin B),

即sin(A+C)=2sin(A+B),所以sin B=2sin C,∴b=2c,故A正确;对于B,如图,以BC的中点O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,

则B(-1,0),C(1,0),设A(m,n),因为b=2c,所以,化简得,所以点A在以为圆心,为半径的圆上运动(B、C除外),所以点A到BC边的距离的最大值为,所以△ABC面积的最大值为,

∴△ABC面积的取值范围为,故B正确;对于C,由上述分析知,点A在以为圆心,为半径的圆上运动(B、C除外),则-,即-3<m<-,又=(m,n),=(-1,0),所以,故C错误;

对于D,由A=2C,可得B=π-3C,由A中分析得b=2c,由,得,所以sin 3C=2sin C,即sin C·cos 2C+2cos2Csin C=2sin C,

易知sin C≠0,所以化简得cos2C=,因为b=2c,所以B>C,所以cos C=,则sin C=,所以sin B=2sin C=1,所以B=,C=,A=,即△ABC为直角三角形,

所以c=,b=,所以△ABC的周长为2+2,故D正确.故选ABD.

三、填空题

13.(2023届山西临汾期中,13)已知sin θcos θ=,则sin4θ+cos4θ=　　　　. 

答案　

解析　因为sin θcos θ=,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×.

14.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. 

答案　

解析　∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,

∴f=1,∴=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+,k∈Z.又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.

15.(2022西宁一模,15)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)=　　　　. 

答案　

解析　由题中图象可得A=2,=2×(6-2),

解得ω=,由图象过原点,且|φ|<,得φ=0,

∴f(x)=2sinx,这是一个周期为8的周期函数,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,

则f(1)+f(2)+…+f(2 022)=252×[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+…+f(6)=.

16.(2020课标Ⅰ,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　. 

答案　-

解析　将平面图形还原成三棱锥P-ABC(如图),

在△PAB中,∠PAB=90°,PA=,AB=,∴PB=,在△PAC中,PA=,AC=1,∠PAC=30°,由余弦定理得PC2=3+1-2·cos 30°,

∴PC=1,

在Rt△BAC中,易知BC=2,

在△PCB中,由余弦定理的推论得cos∠PCB=,即cos∠FCB=-.

四、解答题

17.(2022北京,16,13分)在△ABC中,sin 2C=sin C.

(1)求∠C;

(2)若b=6,且△ABC的面积为6,求△ABC的周长.

解析　(1)∵sin 2C=sin C,∴2sin Ccos C=sin C,

又sin C≠0,∴cos C=.

∵∠C∈(0,π),∴∠C=.

(2)∵S△ABC=,

∴a=4.

由余弦定理得c2=(4)2+62-2×4=12,

∴c=2,∴△ABC的周长为a+b+c=6+6.

18.(2023届赣南五校期中,18)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将f(x)的图象先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象.

(1)求g(x)的解析式;

(2)求g(x)在上的值域.

解析　(1)由题图可知A=,即T=π,则ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),因为函数f(x)的图象过点,

所以-,

即2×+2kπ,所以φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=.

将f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=的图象,再向下平移1个单位长度,得到y=-1的图象,

所以g(x)=-1.

(2)因为x∈,所以2x+.令θ=2x+,则θ∈.所以sin θ∈,所以∈[-1,],所以g(x)∈[-2,-1].

19.(2022中原名校联盟4月联考,19)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=sin B,C=2A,c=2.

(1)求证:△ABC是等腰直角三角形;

(2)已知点P在△ABC的内部,且PB=PC,PA=AC,求cos∠PAB.

解析　(1)证明:由C=2A可得sin C=sin 2A=2sin Acos A,即c=2a·,又sin C=sin B,所以c=b,又c=2,所以b=,故a3-2,

即(a-)(a2+a+2)=6(a-),

化简可得(a-)2(a+2)=0,

因为a>0,所以a=,所以a=b.

又a2+b2=c2,故△ABC是等腰直角三角形.

(2)由(1)可知,∠ACB=,设∠PAC=α,其中α∈,

因为PA=AC,所以∠PCA=,则∠PCB=.

取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC,故PC=.

又AP=AC=,在△APC中,由正弦定理得,

.化简可得,sin α=.

因为α∈,所以α=,

故cos∠PAB=cos.

20.(2022郑州二模,18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为S,若=(2b-a)(a2+b2-c2).

(1)求角C;

(2)求sin A+sin B的取值范围.

解析　(1)由=(2b-a)(a2+b2-c2)可得

=(2b-a)(a2+b2-c2),因为S=bcsin A,a2+b2-c2=2abcos C,所以ccos A=(2b-a)cos C.

由正弦定理得sin Ccos A=(2sin B-sin A)cos C,

则sin Ccos A+sin Acos C=2sin Bcos C,

所以sin(A+C)=2sin Bcos C.

在△ABC中,sin(A+C)=sin B,sin B≠0,

所以cos C=,所以C=.

(2)sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sin

=.

因为0<A<,所以,

所以sin,故sin A+sin B∈.

21.(2023届四川内江六中月考,17)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin=bsin A,b=2.

(1)求角B的大小;

(2)求2a-c的取值范围.

解析　(1)∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,∴asin=bsin A,即acos=bsin A,由正弦定理得sin Acos=sin Bsin A,∵sin A≠0,∴cos,

∴sin,又B为锐角,∴,即B=.

(2)由正弦定理得=4,

∴a=4sin A,c=4sin C=4sincos A+2sin A.

∴2a-c=8sin A-2.

∵0<A<,0<C=,∴,∴0<A-.

∴sin,∴2a-c∈(0,6).

22.(2023届河南部分重点中学测试,20)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)图象的对称轴方程;

(2)是否存在实数a,使得函数F(x)=f(x)-a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个零点?若存在,求出a和对应的n的值;若不存在,请说明理由.

解析　(1)由题图可得A=1,,所以T=π.因为T==π,所以ω=2.

因为f(x)=sin(2x+φ)的图象过点,所以2×+2kπ,k∈Z,

又|φ|<,所以φ=,则f(x)=sin,

所以f(x)图象的对称轴方程为2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k∈Z.

(2)假设同时存在实数a和正整数n满足条件,则y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个交点,且函数y=f(x)的周期是π,当x∈[0,π]时,2x+.

①当a<-1或a>1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上无交点.

②当a=-1或a=1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上仅有一个交点,此时要使y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2 023个交点,则n=2 023.

③当-1<a<<a<1时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上恰有2个交点,

此时y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上有偶数个交点,不可能有2 023个交点.

④当a=时,y=f(x)的图象与直线y=a在[0,π]上恰有3个交点,在[0,2π]上恰有5个交点,……找规律可得y=f(x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上有(2n+1)个交点,则2n+1=2 023,解得n=1 011.

综上,当a=-1或a=1时,n=2 023;当a=时,n=1 011.