2024年高考数学第一轮复习4_专题二22基本不等式及不等式的应用（专题试卷+讲解PPT）

2.2　基本不等式及不等式的应用

考点一　基本不等式及其应用

1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(　　)

A.q=r<p　　　B.q=r>p　　　C.p=r<q　　　D.p=r>q

答案　C　由题意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q.

2.(2015福建理,5,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　　)

A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5

答案　C　因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.

3.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(　　)

A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4

答案　C　依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.

4.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(　　)

A.6+2　　　B.7+2　　　C.6+4　　　D.7+4

答案　D　由log4(3a+4b)=log2,

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

∴a=,由a>0,得b>3.

∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4.

5.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　)

A.80元　　　B.120元　　　C.160元　　　D.240元

答案　C　设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.

6.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　)

A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1

答案　BC　因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC.

7.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　)

A.a2+b2≥　　　　

C.log2a+log2b≥-2　　　　D.

答案　ABD　∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.

ab≤.

对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,当且仅当a=b=时,取等号,A正确;

对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正确;

对于C选项,∵0<ab≤,a>0,b>0,

∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确;

对于D选项,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正确.

8.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　. 

答案　9

解析　本题考查基本不等式及其应用.

依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,

即csin 60°+asin 60°=acsin 120°,

∴a+c=ac,∴+=1,

∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,

当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.

一题多解1　作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,

∴==,

∵DE∥CB,∴===,

∴=,=.

∴=+.

∴=,

∴1=++2··||·||×,

∴1=,∴ac=a+c,∴+=1,

∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.

一题多解2　以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C.

∵A,D,C三点共线,∴∥,

∴+c=0,

∴ac=a+c,∴+=1,

∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.

9.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. 

答案　8

解析　由题设可得+=1,∵a>0,b>0,

∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.

故2a+b的最小值为8.

10.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为　　　　. 

答案　3

解析　解法一:令t=+,

则t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18,

当且仅当=,

即a=,b=时,等号成立.

即t的最大值为3.

解法二:设=m,=n,则m,n均大于零,

因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,

所以m+n≤·,

所以+≤·=3,

当且仅当=,

即a=,b=时,“=”成立,所以所求最大值为3.

考点二 应用基本不等式求解最值

(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　. 

答案　

解析　本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力.

===2+.

∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时≥,∴2+≥2+=,故的最小值为.

思路分析　首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+,注意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立.