2024年高考数学第一轮复习专题训练第一章　§1.4　基本不等式

§1.4　基本不等式

考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．

知识梳理

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：            .

(2)等号成立的条件：当且仅当       时，等号成立．

(3)其中          叫做正数a，b的算术平均数，       叫做正数a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥      (a，b∈R)．

(2)＋≥        (a，b同号)．

(3)ab≤            (a，b∈R)．

(4)≥           (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值       .

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值        .

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　 　)

(2)y＝x＋的最小值是2.(　 　)

(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　 　)

(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　 　)

教材改编题

1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)

A．16  B．8  C．4  D．2

2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.

题型一　利用基本不等式求最值

命题点1　配凑法

例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)

A．2   B．2＋2

C．2   D.＋2

(2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

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命题点2　常数代换法

例2　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　)

A．16   B．8＋4

C．12   D．6＋4

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命题点3　消元法

例3　(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

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延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值．

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思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．

跟踪训练1　(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是(　　)

A．ab有最小值

B．8＋8有最大值8

C.＋有最小值4

D．a2＋b2有最小值

(2)已知x>1，则y＝的最大值为________．

题型二　基本不等式的常见变形应用

例4　(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．b>>a>

B．b>>>a

C．b>>>a

D．b>a>>

(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)

B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)

C.≤(a>0，b>0)

D.≤(a>0，b>0)

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思维升华　基本不等式的常见变形

(1)ab≤2≤.

(2)≤≤≤(a>0，b>0)．

跟踪训练2　(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)

A.   B.＋

C.   D.

题型三　基本不等式的实际应用

例5　中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．

(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？

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(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？

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思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．

跟踪训练3　某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．