2024年高考数学第一轮复习专题训练第八章　§8.6　双曲线

§8.6　双曲线

考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．

知识梳理

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的      等于非零常数(       |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的       ，两焦点间的距离叫做双曲线的         ．

2．双曲线的标准方程和简单几何性质

常用结论

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.

5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　 　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　 　)

(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　 　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　 　)

教材改编题

1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)

A．－1<k<5   B．k>5

C．k<－1   D．k≠－1或5

2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x   B．y＝±2x

C．y＝±x   D．y＝±x

3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.

题型一　双曲线的定义及应用

例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)

A.－＝1(x>2)

B.－＝1(x>3)

C.＋＝1(0<x<2)

D.＋＝1(0<x<3)

(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为__________．

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1   B.－y2＝1

C．x2－＝1(x≤－1)   D．x2－＝1(x≥1)

(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.

题型二　双曲线的标准方程

例2　(1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)

A．x2－＝1   B.－y2＝1

C．x2－＝1   D.－y2＝1

(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－y2＝1   D．x2－＝1

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.

(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．

跟踪训练2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1   B.－y2＝1

C.－＝1   D.－＝1

题型三　双曲线的几何性质

命题点1　渐近线

例3　(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.

(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．

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思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.

(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.

命题点2　离心率

例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．

跟踪训练3　(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是(　　)

A．双曲线C的焦点在x轴上

B．双曲线C的焦距等于4

C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于

D．双曲线C的离心率的取值范围为

(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．