2024年高考数学第一轮复习专题训练第二章 §2.4 函数的对称性
展开§2.4 函数的对称性
考试要求 1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.
知识梳理
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称,偶函数关于 对称.
(2)若f(x-2)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为 ;若f(x-2)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为 .
2.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x);
若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点 对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于 对称;
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于 对称;
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于 对称.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.( )
(2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.( )
(3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1) =0,则f(x)的图象关于y轴对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.( )
教材改编题
1.函数f(x)=图象的对称中心为( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.(1,1)
2.已知定义在R上的函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,且f(-2-x)=f(-2+x),则f(-4)与f(1)的大小关系为________.
3.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=________.
题型一 轴对称问题
例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,对x∈R都有f(x+1)=f(1-x),当f(-3)=-2时,则f(2 023)等于( )
A.-2 B.2 C.0 D.-4
(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(x)在[2,+∞)上单调递减,则不等式f(x-1)>f(1)的解集为________.
听课记录:______________________________________________________________
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思维升华 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x);
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=成轴对称.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是( )
A.f(-1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(-1)
C.f(2)<f(-1)<f(1)
D.f(-1)<f(2)<f(1)
(2)如果函数f(x)对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),且当x≥时,f(x)=log2(3x-1),那么函数f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( )
A.2 B.3 C.4 D.-1
题型二 中心对称问题
例2 (1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列说法正确的是( )
A.f(x)=f(-x)
B.f(2+x)+f(2-x)=0
C.f(-x)=-f(x+4)
D.f(x+2)=f(x-2)
(2)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=+1,y=f(x)与y=g(x)有4个交点,则这4个交点的纵坐标之和为________.
听课记录:______________________________________________________________
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思维升华 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点成中心对称.
跟踪训练2 (1)函数f(x)=ex-2-e2-x的图象关于( )
A.点(-2,0)对称 B.直线x=-2对称
C.点(2,0)对称 D.直线x=2对称
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
题型三 两个函数图象的对称
例3 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象( )
A.关于直线x=1对称
B.关于直线x=3对称
C.关于直线y=3对称
D.关于点(3,0)对称
听课记录:______________________________________________________________
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思维升华 函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称.
跟踪训练3 设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-1)的图象与y=f(1-x)的图象( )
A.关于y轴对称
B.关于x轴对称
C.关于直线x=1对称
D.关于直线y=1对称
2024年高考数学第一轮复习专题训练81练第二章 §2.4 函数的对称性: 这是一份2024年高考数学第一轮复习专题训练81练第二章 §2.4 函数的对称性,共2页。试卷主要包含了已知函数f=eq \f是奇函数等内容,欢迎下载使用。
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