2024年高考数学第一轮复习专题训练第二章　§2.11　函数的零点与方程的解

§2.11　函数的零点与方程的解

考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解．

知识梳理

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使         的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有        ⇔函数y＝f(x)的图象与       有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有          ，那么，函数y＝f(x)在区间          内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得          ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且          的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间           ，使所得区间的两个端点逐步逼近         ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

常用结论

1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　 　)

(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　 　)

(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　 　)

(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　 　)

教材改编题

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)

A．(3,4)  B．(2,3)  C．(1,2)  D．(0,1)

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

题型一　函数零点所在区间的判定

例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)

A．(1,2)   B．(2,3)

C．(3,4)   D．(4,5)

延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)

A．x1<x2<x3   B．x2<x1<x3

C．x1<x3<x2   D．x2<x3<x1

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)

A．(－2，－1)   B．(－1,0)

C．(0,1)   D．(1,2)

(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

题型二　函数零点个数的判定

例2　(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为(　　)

A．404  B．405  C．406  D．203

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华　求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；

(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

跟踪训练2　(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)

A．3  B．7  C．5  D．6

(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．

题型三　函数零点的应用

命题点1　根据零点个数求参数

例3　(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)

A．(2－6,0)   B．(2－6,0)

C．(－2,0)   D．(2－6,0)

听课记录：______________________________________________________________

命题点2　根据函数零点的范围求参数

例4　(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(－∞，0)   D.

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．0<a<3   B．1<a<3

C．1<a<2   D．a≥2

(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－1,0)   B.

C.   D.∪{－1}