2024年高考数学第一轮复习专题训练第七章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题训练第七章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积，共6页。试卷主要包含了直观图，4 cm2 D．1 570等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用 ．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 ．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
教材改编题
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A．四棱台B．四棱锥
C．四棱柱D．三棱柱
2．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 (多选)下列说法中不正确的是( )
A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
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命题点2 直观图
例2 已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．5eq \r(2)
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命题点3 展开图
例3 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为( )
A．12 cm B．13 cm
C.eq \r(61) cm D．15 cm
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思维升华 空间几何体结构特征的判断技巧
(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
跟踪训练1 (1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为( )
A．4eq \r(2)＋4 B．4eq \r(6)＋4
C．8eq \r(2) D．8
(2)(多选)下列命题中不正确的是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．不存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的eq \f(5,4)倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为( )
A.eq \f(4π,5) B.eq \f(6π,5) C.eq \f(8π,5) D.eq \f(9π,5)
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．8π B．4π C．8 D．4
(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为eq \r(5)，则这个三棱锥的表面积为( )
A．4＋3eq \r(3)＋eq \r(15) B．4＋eq \r(3)＋2eq \r(15)
C．4＋eq \r(3)＋eq \r(15) D．4＋2eq \r(3)＋eq \r(15)
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命题点2 体积
例5 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．4 D．6
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思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
跟踪训练2 (1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为( )
A．120 cm2 B．162.7 cm2
C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相 且____
多边形
互相 且_____
侧棱
相交于 但不一定相等
延长线交于_____
侧面形状
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等， 于底面
相交于____
延长线交于____
轴截面
侧面展开图
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝____
S圆锥侧＝____
S圆台侧＝________
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝_____
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝_____
V＝eq \f(4,3)πR3
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积