2024年高考数学第一轮复习专题训练第十章　§10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

§10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

考试要求　1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．

知识梳理

1．二项分布

(1)伯努利试验

只包含       可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为                  ．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝             ，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作          ．

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝       ，D(X)＝          ．

②若X～B(n，p)，则E(X)＝      ，D(X)＝          ．

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝                    ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

3．正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为              ．

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线       对称；

②曲线在       处达到峰值；

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝       ，D(X)＝       .

常用结论

1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，

D(X)＝.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．(　 　)

(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　 　)

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　 　)

(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．(　 　)

教材改编题

1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是(　　)

A．32  B．16  C．8  D．20

3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.

题型一　二项分布

例1　(1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是(　　)

A．10分钟   B．5分钟

C．4分钟   D．2分钟

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(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0<P0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．

①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为.求P0的大小；

②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？

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思维升华　二项分布问题的解题关键

(1)定型：

①在每一次试验中，事件发生的概率相同．

②各次试验中的事件是相互独立的．

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．

(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．

跟踪训练1　(1)已知随机变量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，则P(X≥2)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．

①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；

②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．

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题型二　超几何分布

例2　2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；

(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．

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思维升华　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．

跟踪训练2　为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．

某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：

(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；

(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．

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题型三　正态分布

例3　(1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为(　　)

A．2 800   B．4 200

C．5 600   D．7 000

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴为x＝μ.

(2)标准差为σ.

(3)分布区间．

利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.

跟踪训练3　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.

(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m，n)内抽取学生，并确定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m，n)内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．

(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈

0.997 3)