2024年高考数学第一轮复习专题训练第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

考试要求　恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．

题型一　分离参数求参数范围

例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；

(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．

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思维升华　分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

跟踪训练1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围．

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题型二　等价转化求参数范围

例2　(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取值范围．

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思维升华　根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．

跟踪训练2　(2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R.

(1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围．

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题型三　双变量的恒(能)成立问题

例3　(2023·石家庄质检)已知函数f(x)＝ax2ln x与g(x)＝x2－bx.

(1)若f(x)与g(x)在x＝1处有相同的切线，求a，b，并证明f(x)≥g(x)；

(2)若对∀x∈[1，e]，都∃b∈使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．

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思维升华　“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有

(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.

(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.

(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.

跟踪训练3　已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．

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