新高考物理一轮复习专题12.2　磁场对运动电荷的作用　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 精品讲义（含解析）

专题12.2　磁场对运动电荷的作用　带电粒子在有界匀强磁场中的运动【讲】

【讲核心素养】

1.物理观念：洛伦兹力。

（1）.通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。

（2）.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。

2.科学思维：带电粒子在有界匀强磁场中的运动。

（1）会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。

（2）能够分析带电体在匀强磁场中的运动。

【讲考点题型】

【知识点一】对洛伦兹力的理解和应用

1．洛伦兹力的定义

磁场对运动电荷的作用力．

2．洛伦兹力的大小

（1）v∥B时，F＝0；

（2）v⊥B时，F＝qvB；

（3）v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.

3．洛伦兹力的方向

（1）判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；

（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．（注意B和v可以有任意夹角）

【例1】 （2022·福建福州·三模）洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图（a）、图（b）所示。电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图（b）中的P点，下列说法正确的是（　　）

A．两个励磁线圈中的电流均为顺时玻璃泡励磁线圈

B．当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈

C．当加大加速极电压时，电子打在玻励磁电流加速极电压璃泡上的位置将上移

D．在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变小

【答案】  B

【解析】A．根据左手定则可知磁场垂直纸面向外，再由右手螺旋定则知两个励磁线圈中的电流均为逆时针，故A错误；

B．经加速电压后电子加速，根据动能定理

电子在磁场中做匀速圆周运动，根据

得

当加大励磁线圈电流时，磁感应强度变大，使电子做圆周运动的半径减小，可能会出现完整的圆形轨迹，故B正确；

C．加大加速极电压，电子射出时的速度增大，圆周的半径变大，圆的弯曲程度变小，则电子打在玻璃泡上的位置下移，故C错误；

D．在出现完整轨迹后，减小加速极电压，电子圆周的速度变小，但在磁场中圆周运动的周期为

则其周期不变，故D错误；

故选B。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练1】（多选）（2022·广东茂名·模拟预测）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。关于a、b、c三条径迹判断正确的是（　　）

A．a、b、c都是负电子的径迹

B．a径迹对应的粒子动量最大

C．c径迹对应的粒子动能最大

D．c径迹对应的粒子运动时间最长

【答案】  AC

【解析】A．带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确；

B．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有

解得

由图可知

所以

根据

可知

故B错误；

C．根据

可知

故C正确；

D．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有

则

所以

粒子在磁场中的运动时间

其中为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，故D错误。

故选AC。

【归纳总结】洛伦兹力与电场力的比较

【知识点二】带电粒子在匀强磁场中的运动

1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．

2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．

（1）洛伦兹力提供向心力：qvB＝.

（2）轨迹半径：r＝.

（3）周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．

（4）运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ（弧度）时，所用时间t＝T.

（5）动能：Ek＝mv2＝＝.

【例2】（多选）（2022·湖北·高考真题）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（　　）

A．t1<t2 B．t1> t2

C．Ek1<Ek2 D．Ek1>Ek2

【答案】  AD

【解析】AB．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，根据

可知

t1<t2

故A正确，B错误。

CD．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，而根据

可知

Ek1>Ek2

故C错误，D正确。

故选AD。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练2】（2022·河南·高三开学考试）如图所示，平面直角坐标系内，x轴上方有垂直坐标系平面向里、半径为R的圆形匀强磁场（大小未知），圆心为。x轴下方有一平行x轴的虚线MN，在其下方有磁感应强度方向垂直坐标系平面向外、大小为的矩形匀强磁场，磁场上边界与MN重合。在MN与x轴之间有平行与y轴、场强大小为的匀强电场（图中未画出），且MN与x轴相距（大小未知）。现有两相同带电粒子a、b以平行x轴的速度分别正对点、A点射入圆形磁场，经偏转后都经过坐标原点O进入x轴下方电场。已知粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。

（1）求磁感应强度的大小；

（2）若电场沿y轴负方向，欲使带电粒子a不能到达MN，求的最小值；

（3）若电场沿y轴正方向，，欲使带电粒子b能到达x轴上且距原点O距离最远，求矩形磁场区域的最小面积。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）a、b平行进入圆形磁场，均进过原点O，则根据“磁聚焦”可知，粒子做圆周运动的半径大小与磁场区域半径大小相等，即

又

解得

（2）带电粒子a从O点沿y轴负方向进入电场后做减速运动，则由动能定理可得

解得

（3）若匀强电场沿y轴正方向，则粒子b从原点O沿x轴负向进入电场，做类平抛运动，设粒子b经电场加速度后的速度大小为v，在MN下方磁场做匀速圆周运动的轨道半径为，粒子b离开电场进入磁场时速度方向与水平方向夹角为，如图甲所示

则有

解得

又

则

在电场中

，

在磁场中有

解得

如图乙所示，由几何关系可知，在矩形磁场中运动的圆心在y轴上，当粒子从矩形磁场右边界射出，且方向与x轴正方向夹角为时，粒子能够到达x轴，距离原点O最远。

则最小矩形区域水平边长为

竖直边长为

则最小面积为

【方法总结】

1、求解带电粒子运动时间的一般思路

2、确定周期和运动时间的方法

粒子在磁场中运动一周的时间T＝，

当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间t＝T＝；

若知道弧长l，则可由t＝＝T计算出时间．

【知识点三】带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动

类型1　直线边界磁场

直线边界，粒子进出磁场具有对称性（如图所示）

图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝

图b中粒子在磁场中运动的时间

t＝（1－）T＝（1－）＝

图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝

【例3】（2022·河南省驻马店高级中学高三开学考试）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（    ）

A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大

C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远

【答案】  C

【解析】ABC．粒子运动周期

当θ一定时，粒子在磁场中运动时间

由于t、ω均与v无关，AB错误，C正确；

D.当v一定时，由

知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，D错误。

故选C。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练3】（2022·山西·高三开学考试）如图所示，坐标系第Ⅰ、Ⅳ象限内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在电场强度的大小为E，方向沿y轴负方向的匀强电场。一带正电的离子从x轴上的P点处以初速度沿x轴正方向开始运动，离子第一次到达y轴时，速度方向与y轴负方向的夹角为30°。离子通过磁场后再次返回电场中又能回到P点。已知P点的坐标为，不计离子的重力。求：

（1）离子的比荷和离子第一次通过y轴时的位置坐标；

（2）离子两次通过y轴的两点间的距离；

（3）磁场的磁感应强度的大小。

【答案】  （1）；（0、）（2）；（3）

【解析】

（1）粒子从P点开始在电场中做类平抛运动，则

解得

即离子第一次通过y轴时的位置坐标（0、）

（2）粒子出离磁场后，速度方向与y轴负向仍成30°角，速度大小仍为

到达P点时，则

解得

离子两次通过y轴的两点间的距离

（3）粒子在磁场中做圆周运动，半径满足

又

解得

【模型提炼】带电粒子在单直线边界型磁场中的运动当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：

类型2　平行边界磁场

带电粒子在双直线边界型磁场中的运动

当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时：

【例4】（多选）（2022·湖北·高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　）

A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，60° D．2kBL，60°

【答案】  BC

【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图

根据几何关系则有

可得

根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。

当粒子上下均经历一次时，如图

因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有

根据洛伦兹力提供向心力有

可得

此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。

通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足

（n=1，2，3……）

此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；

当粒子从上部分磁场射出时，需满足

（n=1，2，3……）

此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。

故可知BC正确，AD错误。

故选BC。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练4】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）如图所示，厚度不计的光滑绝缘板、间距为，板长为，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。两板的上边界连线及其上方和下边界连线及其下方的空间都存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个质量为的带电的粒子，电量为，从的中点S与板成角垂直于磁场射入板间，在磁场作用下经点垂直于边界并恰好能无碰撞地射入上部磁场区域，轨迹如图所示，不计粒子重力。

（1）求粒子从S点射入板间的速度的大小；

（2）若该粒子射入上部磁场区后，又恰好能从点无碰撞地返回板间磁场，运动过程中与绝缘板相碰时无能量损失且遵循反射定律，经过一段时间后该粒子能再回到S点（回到S点的运动过程中与板只碰撞一次），求粒子从S点出发到再回到S点的时间；

（3）若其他条件均不变，板不动，将板从原位置起向右平移，且保证区域内始终存在垂直纸面向里的匀强磁场，若仍需让粒子回到S点（回到S点的运动过程中仍然与板只碰撞一次），则到的垂直距离应满足什么关系？（用来表示）

【答案】  （1）；（2）；（3），（）或，（）

【解析】（1）、间距离，且S为中点，根据几何关系

有

，

从S点射入速度

（2）由对称性，粒子将打到中点并反弹，再次回到S点的轨迹如图。从图知，粒子从点进入磁场后做半个圆周再次进入，所以在中，，在中，

又

解得

，

故粒子在场中时间

粒子在场中时间

（3）如图所示，由粒子运行的周期性以及与板碰撞遵循反射定律，有如下结果：

，（）或，（）

【模型提炼】带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示。

类型3　圆形边界磁场

带电粒子在圆形有界磁场区域中的运动

所加磁场为圆形有界区域，让带电粒子沿半径方向射入，带电粒子在磁场中的运动有下列特点：

速率小的带电粒子在磁场中的轨迹短，对应的圆心角大，运动的时间长．

不同速率的带电粒子在磁场中运动的时间t应满足：0<t<.

射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角．

【例5】（多选）（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（　　）

A．粒子1可能为中子

B．粒子2可能为电子

C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点

D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点

【答案】  AD

【解析】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；

C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；

D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有

解得

可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。

故选AD。

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练5】 （2022·四川·树德中学模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，大量比荷为、速度大小范围为的粒子从PM和QK间平行于PM射入圆形磁场区域，PM与圆心O在同一直线上，PM和QK间距离为0.5R，已知从M点射入的速度为的粒子刚好从N点射出圆形磁场区域，N点在O点正下方，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：

（1）圆形区域磁场的磁感应强度B及带电粒子电性；

（2）圆形区域内有粒子经过的面积；

（3）挡板CN、ND下方有磁感应强度为2B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND=R，直线CD与圆形区域相切于N点，到达N点的粒子均能从板上小孔进入下方磁场，挡板ND绕N点在纸面内顺时针旋转，ND板下表面上有粒子打到的区域长度l与板旋转角度α（0°≤α<90°）之间的函数关系式。

【答案】  （1），带正电；（2）；（3）见解析

【解析】（1）速度为的粒子从M点射入，从N点出，轨道半径为r，依题意有

由左手定则判断可得粒子带正电；

（2）速度为的粒子从M射入，射出点为A，如图1所示，依题意有

MK间入射的速度为的粒子能到达的区域为图中阴影部分，面积为

（3）如图2所示，由几何关系可知，能到达N点的带电粒子速度均为，半径均为R， 中有

从K点射入带电粒子速度偏转角为60°，从M入射带电粒子速度偏转角为90°，从N点出射的粒子速度与ON的夹角最大值为

挡板下方磁感应强度为2B，粒子均以速度进入（如图3），有

则轨道半径为

在三角形NFD中有

连接HG构成三角形，中有

ND板下表面被粒子打到的长度为

（）

或

（）

【模型提炼】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性（如图所示）

粒子做圆周运动的半径r＝

粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90°

类型4　三角形或四边形边界磁场

【例6】 （2022·广东广州·模拟预测）如图所示，三角形ABC内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B=30°，∠C=90°，BC=L。BC中点有一离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为+q。若有离子刚好从C点沿AC方向射出，求：

（1）离子的发射速率v；

（2）从AB边射出的粒子占全部粒子的占比；

（3）从AB边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）离子刚好从C点沿AC方向射出，作出该离子的运动轨迹如图所示

根据单边有界磁场的规律，可知，该离子必定垂直于BC边入射，根据几何关系有

离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有

解得

（2）若离子入射速度方向与SB夹角为时，离子轨迹恰好与AB边相切，作出轨迹以及辅助线如图所示

轨迹图中O为轨迹的圆心，OD与OS为半径，由几何关系有

解得

即在该离子入射速度与SB夹角在范围内进入的离子能够从AB边射出，由于离子是均匀地向三角形内的各个方向发射，则从AB边射出的离子占全部粒子的占比为

（3）由分析可知，离子从AB边射出时，轨迹为一条劣弧，轨迹弧对应的弦长越短，磁场中运动的时间越小，则当入射点与出射点连线垂直于AB边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出轨迹如图所示

轨迹图中为轨迹的圆心，与为半径，由几何关系有

则为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为，最短时间为

圆周运动的周期

解得

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练6】（2022·北京大兴精华学校三模）如图，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入长方形区域内的匀强磁场后，分别从a、b、c、d四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间、、、，其大小关系是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】  D

【解析】ABCD．作出从a、b、c、d四点射出磁场对应的粒子运动轨迹图，假设轨迹圆弧对应的圆心角分别为，，，，由轨迹图可知

由可知

故ABC错误，D正确。

故选D。

【方法总结】带电粒子在矩形边界磁场中的运动规律

（1）圆心在磁场边界上

①速度较小时，粒子做半圆运动后从原边界飞出；

②速度在某一范围内时可能从左侧面边界飞出：

③速度较大时做部分圆周运动从对面边界飞出．

（2）圆心不在边界上也不在与边界垂直的直线上

①速度较小时，粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；

②速度在某一范围内可能从上侧面边界飞出；

③速度较大时，粒子做部分圆周运动可能从右侧面边界飞出；

④速度更大时，粒子做部分圆周运动可能从下侧面边界飞出．

【知识点四】带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题

1．多解的几种情况

（1）带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．

（2）磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．

（3）运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．

（4）临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．

2．临界极值问题

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

（2）当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动的时间越长．

（3）一带电粒子（不计重力）在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．

[磁场方向不确定引起的多解]

【例7】（2022·宁夏六盘山高级中学模拟预测）如图所示，长为4L的绝缘挡板cd沿竖直方向固定，c端下方L处的b点静止一带电荷量为-q（q>0）的粒子乙，质量为m的不带电粒子甲由a点以一定的初速度向右运动，粒子甲的初动能为E，经过一段时间粒子甲、乙发生碰撞，碰后两粒子结合为一体，碰后结合体的总动能为，整个空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），d、e两点在同一水平线上且de=L，忽略粒子的重力，。

（1）求粒子乙的质量；

（2）欲使结合体打在绝缘板上，求磁感应强度的取值范围；

（3）若结合体与绝缘挡板发生两次无能量、无电荷量损失的碰撞后经过e点，求结合体的轨迹半径大于L时磁感应强度的大小及结合体到达e点时在磁场中运动的时间。

【答案】  （1）M=3m；（2）；（3），

【解析】（1）碰前由粒子甲的初动能为E，则有粒子甲的初速度

设粒子乙的质量为M，由题意知，碰后结合体的总动能为，则碰后结合体的速度为

粒子甲和乙碰撞过程中动量守恒，则有

解得

M=3m

（2）碰后结合体的速度大小为

若结合体打到绝缘板的最下端c，则

可得

解得

若结合体打在绝缘板的最上端d，则

可得

解得

匀强磁场的磁感应强度应满足的取值条件

（3）若结合体与绝缘挡板产生两次的碰撞后经e点，由题意作出结合体的运动轨迹，如图所示，设结合体的轨迹半径为r3 ，由几何关系可知

解得

可有

由轨迹可知

则有

则结合体到达e点时在磁场中转过的角度为

则结合体运动的时间为

整理得

【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。

【变式训练7】（2022·广东·华南师大附中三模）如图所示，一对栅极板（由金属细丝组成的筛网状电极）水平放置，它长为的部分位于矩形区域CDEF·中的华轴线附近，矩形区域长为L，宽为 ；极板与可调电源相连。在极板外的CDEF其他区域内存在方向垂直向里、磁感应强度为B的匀强磁场。某时刻，将质量为m，电荷量为-q（q>0）的粒子从栅极板下板靠近CF边界处静止释放（图中未画出）。若忽略粒子所受的重力及栅极板的电场边缘效应，在计算中忽略栅极板间的距离和粒子在其中的运动时间，问：

（1）若粒子一次加速后就能离开磁场区域，求电场电压的U的最小值；

（2）若粒子第一次加速后，在磁场中运动的半径为；求粒子从释放至第一次到达上边界CD所用的总时间t；

（3）若粒子能到达右边界DE，且在磁场中运动的总时间小于， 试讨论电压U的取值范围。

【答案】  （1）；（2）；（3）

【解析】（1）设加速后粒子速率为v，加速过程有

设在磁场中运动的半径为R，有

解得

由几何关系易知当轨迹恰好与CD相切时，电压最小。此时半径

联立解得

（2）粒子经过N次加速后，速率为v，则有

同上可知半径

解得

则有

由题可知

粒子运动半圈后经过电场减速为0，然后经过多次加速后与CD相切，此时半径

联立解得

N=4

即粒子经过一次加速，一次减速，再经过四次加速，第一次到达上边界。又因为粒子的运动周期

所以运动时间

（3）因为运动总时间小于2.5T，可判断有下三种情况

①恰好与右边界DE相切，且t=T时，此时半径

由可知，经过1次加速1次减速后，再经过1次加速后恰好经过右边界，如图

则有

②恰好与上边界DE相切时，第二次加速半径为

同理解得

③恰好与右边界DE相切，且t=2.5T，第1次加速半径r3，第2次加速半径

又

解得

同理解得

综上所述电压U的取值范围为

【方法总结】解决带电粒子的临界问题的技巧方法

1.数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。

2.临界问题的一般解题流程

3．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。