精品解析：广东省六校（广州市第二中学等）2024届高三上学期第二次联考数学试题（原卷版）

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海--中、中山纪念中学

2024届高三第二次六校联考试题

数  学

命题人：广州二中  张和发    审题人：陈景文  孙晓荣

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “且”是“且”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则

A  B.  C.  D.

6. 已知函数，其中．若函数在上为增函数，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称

C. 函数关于点中心对称 D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）

A. 函数的图象的一个对称中心为.

B. 函数奇函数.

C. 函数在上的单调递减区间是.

D. 函数的图象的一个对称轴方程为.

11. 已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A. 若，则有2个零点 B. 存在，使得有1个零点

C. 存在，使得有3个零点 D. 存在，使得有3个零点

12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析式是__________．

14. 部分图象如图所示，则函数的解析式为______

15. 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．

16. 若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知中角，，的对边分别为，，，满足．

（1）求的值；

（2）若，，求的面积．

18. 如图为一块边长为的等边三角形地块，现对这块地进行改造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和（，，分别在边，上），与和围成四边形区域，在该区域内种上花草进行绿化改造，设.

（1）当时，求花草绿化区域的面积；

（2）求花草绿化区域的面积的取值范围.

19. 已知为内角，函数的最大值为．

（1）求；

（2）设，且，若方程在内有两个不同的解，求实数取值范围．

20. 设函数.

（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时.

21 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，讨论函数在上的单调性；

（3）证明：对任意的，有．

22. 已知.

（1）试求在上的最大值；

（2）已知在处的切线与轴平行，若存在，，使得，证明：.