陕西省西安市蓝田县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

这是一份陕西省西安市蓝田县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）方程x2＝4的解是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
2．（3分）“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示的方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠2＝25°，则∠1的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．55°
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3．连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ABF等于（　　）

A．2：5 B．2：25 C．4：5 D．4：25
5．（3分）关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0
6．（3分）如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 　 　．
10．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣2，则另一个根是 　 　．
11．（3分）有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为 　 　．
12．（3分）已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝　 　厘米．（结果保留根号）
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，顺次连接在边AB、AC、BC上的三点D、E、F形成以点D为直角顶点的等腰直角三角形，且EF∥AB，则EF的长为 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：﹣12﹣（π﹣）0+|1﹣|．
15．（5分）解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝12．
16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝3．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上求作一点D，使△ABC∽△DAC．（不写作法，保留作图痕迹）

18．（5分）一个口袋中有10个黑球和若干个白球若干个，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇均，重复上述过程，共实验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计袋中共有多少球？
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．​
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1．
（2）写出C1的坐标，

20．（5分）某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
21．（6分）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会义举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
（1）从中随机抽取一张，求抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率；
（2）若从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率．

22．（7分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．

23．（7分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若EF＝2cm，求AB的长．

24．（8分）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度．

25．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝　 　cm；OQ＝　 　cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．

26．（10分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP　 　DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 　 　．



2022-2023学年陕西省西安市蓝田县九年级（上）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）方程x2＝4的解是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【解答】解：解方程得：x＝±2．
故选：C．
2．（3分）“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中，字母“o”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中共有16个字母，O出现了3次，
∴字母“o”出现的频率是，
故选：B．
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示的方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠2＝25°，则∠1的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．55°
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠2＝25°，
∴∠3＝60°﹣∠2＝35°，
∵m∥n，
∴∠1＝∠3＝35°，
故选：C．

4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3．连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ABF等于（　　）

A．2：5 B．2：25 C．4：5 D．4：25
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2．
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25，
故选：D．
5．（3分）关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0
【解答】解：当a≠0时，
∵原方程有实数根，
∴Δ＝4+4a≥0，
∴a≥﹣1，
当a＝0时，﹣2x﹣1＝0有实数根．
故选：A．
6．（3分）如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．
故选：C．
7．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠BEC＝∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠ECF＝30°，
∵BA＝BE，EC＝CD，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴EA＝ED，故①正确，
∴∠DEF＝∠EAD+∠ADE＝30°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝45°，故②正确，
∵∠EDF＝∠AFD＝75°，
∴ED＝EF，
∴AE＝EF，故③正确，
∵∠BAE＝∠BEA＝∠EDF＝∠EFD＝75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正确，
故选：D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 　24　．
【解答】解：菱形的面积＝＝24，
故答案为24．
10．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣2，则另一个根是 　4　．
【解答】解：设另一个根为x，
∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣2，
∴﹣2+x＝﹣（﹣2），
解得x＝4，
∴另一个根为4，
故答案为：4．
11．（3分）有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为 　　．
【解答】解：洗匀后随机抽取一张共有3种等可能结果，其中抽取的卡片数字是负数的只有1种结果，
∴抽取的卡片数字是负数的概率为，
故答案为：．
12．（3分）已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝　（2﹣2）　厘米．（结果保留根号）
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB＝2﹣2，
故答案为：（2﹣2）．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，顺次连接在边AB、AC、BC上的三点D、E、F形成以点D为直角顶点的等腰直角三角形，且EF∥AB，则EF的长为 　　．

【解答】解：过点C作CG⊥AB，垂足为G，交EF于点P，过点D作DH⊥EF，垂足为H，

∵EF∥AB，
∴CP⊥EF，
∴四边形DGPH是矩形，
∴DH＝PG，
∵DE＝DF，DH⊥EF，
∴EH＝FH＝EF，
∵∠EDF＝90°，
∴DH＝EF，
∴DH＝PG＝EF，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB•CG＝AC•BC，
∴5CG＝3×4，
∴CG＝2.4，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
解得：EF＝，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：﹣12﹣（π﹣）0+|1﹣|．
【解答】解：﹣12﹣（π﹣）0+|1﹣|
＝﹣1﹣1+﹣1
＝﹣3．
15．（5分）解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝12．
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣10＝0，
（x﹣5）（x+2）＝0，
x﹣5＝0或x+2＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣2．
16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝3时，
原式＝＝1．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上求作一点D，使△ABC∽△DAC．（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如图，点D即为所求．

理由：由作图可知DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
18．（5分）一个口袋中有10个黑球和若干个白球若干个，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇均，重复上述过程，共实验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计袋中共有多少球？
【解答】解：设小球共有x个，根据题意可得：
＝，
解得：x＝40．
答：袋中共有40个小球．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．​
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1．
（2）写出C1的坐标，

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）由图可得，C1（8，6）．

20．（5分）某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
【解答】解：由题意得：2月份的销售额60（1﹣10%）＝54（万元），
设3、4月份平均每月销售额增长的百分率是x，
54（1+x）2＝121.5，
∴1+x＝±1.5，
∴x1＝50%或x2＝﹣2.5（负值舍去）．
答：3、4月份销售额的月平均增长率为50%．
21．（6分）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会义举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．
（1）从中随机抽取一张，求抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率；
（2）若从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率．

【解答】解：（1）由题意知，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为；
（2）根据题意作树状图如下：

∴抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率为＝．
22．（7分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
23．（7分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若EF＝2cm，求AB的长．

【解答】（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm．
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC＝AB，
∴AB＝2DC＝4cm．
24．（8分）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度．

【解答】解：由题意可得：∵DC∥AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
∵FG∥AB，
∴△FHG∽△AHB，
∴，
∵DC＝FG，
∴，
∵ED＝3m，DG＝GH＝5 m，
∴，
∴BD＝7.5（ m），经检验符合题意，
∵，
∴，
∴AB＝5.95（ m），经检验符合题意；
答：花丛中路灯AB的高度5.95米．
25．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝　2t　cm；OQ＝　（5﹣t）　cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．

【解答】解：（1）由运动知，OP＝2tcm，OQ＝（5﹣t）cm，
故答案为：2t，（5﹣t）；

（2）由（1）知，OP＝2tcm，OQ＝（5﹣t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6＝×2t×（5﹣t），
∴t＝2或3，
∴当t＝2或3时，三角形POQ的面积为6cm2．

（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t＝，
当时，则，
∴t＝1，
∴当t＝或1时，△POQ与△AOB相似．
26．（10分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP　＝　DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 　　．


【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDC+∠CDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ，
故答案为：＝；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴＝＝＝，
设AP＝x，则CQ＝2x，
∴PB＝4﹣x，BQ＝2+2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2+BQ2＝PQ2，
代入得（4﹣x）2+（2+2x）2＝52，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的长为1；
②如图所示，延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，

设AP＝a，则BP＝4﹣a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴＝＝，∠APD＝∠CQD，
∴CQ＝2a，
则BQ＝BC+CQ＝2+2a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM＝∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
，
∴△BDM≌△BDQ（SAS），
∴∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，
又∵∠BQD＝∠APD＝∠BPM，
∴∠BMD＝∠BPM，
∴BM＝BP，即2+2a＝4﹣a，
解得a＝，即AP＝，
∴PD＝＝＝，
故答案为：．