中考数学计算专项训练专题5解一元一次方程含解析答案

专题5�解一元一次方程

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．小明解方程的步骤如下：

解：方程两边同乘6，得①

去括号，得②

移项，得③

合并同类项，得④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

2．下列方程的变形中，正确的是（    ）

A．方程，移项得

B．方程，去括号得

C．方程，可化为

D．方程，可化为

3．解一元一次方程时，去分母正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．方程3x＝2x＋7的解是（   ）

A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7

5．在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（    ）．

A． B．1 C．0 D．2

6．已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　）

A． B． C． D．

8．方程的解是          ．

9．方程的解为      ．

10．对于任意有理数a，b，我们规定：．若，则      ．

11．对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为      ．

12．若关于x的方程的解是，则a的值为          ．

13．已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为     ．

14．关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为        ．

15．关于x的方程无解，那么m、n满足的条件是          ．

16．解方程：

17．解下列方程：

(1)

(2)

18．解方程：

19．解方程：；

20．解方程：

21．解方程：．

22．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，例如：，根据上述规定解决下列问题：

(1)计算；

(2)若，求x的值．

23．已知关于的方程．

(1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值；

(2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________．

24．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．

请根据上述规定解答下列问题：

(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　．

①；②；③．

(2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；

(3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值．

25．如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”．

(1)若方程是方程的“稻香方程”，则________；

(2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（），求n的值；

(3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值．

26．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.

(1)判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；

(2)方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．

27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．

(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；

(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；

(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解．

参考答案：

1．A

【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．

【详解】解：方程两边同乘6，得①

∴开始出错的一步是①，

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．

2．C

【分析】将下列解方程按照合并同类项、去括号、同时扩大的方法整理方程即可判断正确选项.

【详解】解：选项：方程两边同时减得，，不符合题意；

选项：方程去括号得，不符合题意；

选项：方程两边同时乘10得，，符合题意；

选项：将方程分母化整数，得，不符合题意.

故答案选：.

【点睛】本题考查了一元一次方程计算，熟练掌握一元一次方程式解本题的关键.本题化简方程时容易忽略分母扩大，分子并未扩大导致解方程出错.

3．D

【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【详解】解：方程两边都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

故选：D．

【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．

4．C

【分析】先移项再合并同类项即可得结果；

【详解】解：3x＝2x＋7

移项得，3x-2x=7；

合并同类项得，x＝7；

故选：C．

【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．

5．C

【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．

【详解】解：由题意知：，

又，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．

6．B

【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案．

【详解】∵，得到，

∴的解为，

∵方程的解是，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．

7．C

【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．

【详解】解：

去分母，得

去括号，得

移项、合并同类项，得

将系数化为1，得

是非负整数解

或，，时，的解都是非负整数

则

故选C．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．

8．

【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可．

【详解】解：，

去括号得，，

移项得，，

系数化为1得，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用一元一次方程的解法解方程．

9．或

【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可．

【详解】解：∵

∴，

∴；

分类讨论：①当时，

∵方程有意义，

∴，

解得：，

∴，

∴

解得，，舍去；

②当时，

∵方程有意义，

∴，

解得：，

∴，即或，

解得：或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．

10．

【分析】先根据新运算得出方程，再求出方程的解即可．

【详解】解：，

，

即，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键．

11．2

【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值．

【详解】解：当时，，

解得：，（不合题意，舍去）；

当时，，

解得：（不合题意，舍去）；

∴．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元二次方程和解一元一次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键．

12．3

【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．

【详解】解：根据题意，知

，

解得a=3．

故答案是：3．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

13．-7

【详解】解：把x=1代入2x+a+5=0，

有2+a+5=0,

解得a=-7，

故答案为：-7.

14．

【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于的方程，解出并找出符合题意的的值相加，即可得出答案．

【详解】解：

去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：，

∵方程的解为整数，

∴或，

解得：或或或，

又∵为正整数，

∴的值为或或，

∴符合条件的正整数的值之和为：．

故答案为：

【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程．

15．且

【分析】根据方程无解的条件即可解答．

【详解】解：∵，

当，

∴，

当，时，即；

此时方程有无数个解；

当，即时，

此时，方程无解；

综上：关于x的方程无解，且．

故答案为：且．

【点睛】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，n的值是解题关键．

16．

【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．

【详解】解：

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解答；

（2）先将原方程进行整理，再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可解答．

【详解】（1）解：去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

化系数为1得：，

原方程的解为：；

（2）解：方程整理得：，

去分母得：，

移项合并得：，

系数化为1得：，

原方程的解为：．

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解题的关键．

18．

【分析】利用分数的基本性质将方程变形后，再根据基本步骤解一元一次方程即可．

【详解】解：方程变形得：，

去分母，得：，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

系数化为，得：．

【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为，即可求出解．掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．

19．

【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．

【详解】解：整理得：，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

系数化为，得：．

【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为，即可求出解．掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．

20．，．

【分析】分类讨论：，，，根据绝对值的化简解答即可．

【详解】解：当时，原方程可化为：

，

解得（符合题意）；

当时，原方程可化为：

，

解得（不合题意）；

当时，原方程可化为：

，

解得（符合题意），

∴原方程的解为．

【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题的关键，把不符合题意的要舍去．

21．时，；时

【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值.

【详解】解：①当时，，

，不存在；

②当时，，；

③当时，，，

的解是时，；时．

【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程．

22．(1)38

(2)

【分析】（1）根据所给的新定义进行求解即可；

（2）根据所给的新定义建立方程求解即可．

【详解】（1）解：由题意得：

；

（2）解：∵，

∴，

∴，

解得．

【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．

23．(1)

(2)3或8

【分析】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可；

（2）用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定的值即可．

【详解】（1）解：

方程两边同乘，得，，

去括号，得：，

移项，合并同类项，得：，

系数化1，得：；

，

去小括号，得：，

去中括号，得：，

移项，合并同类项，得：，

系数化1，得：；

∵两个方程的解相同，

∴，

解得：；

（2）解：由（1）知：，

∵方程的解是正整数，

∴能被整除，

又∵为正整数，

∴或，

解得：或；

故答案为：3或8．

【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换．

24．(1)②

(2)

(3)32

【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；

（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；

（3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可．

【详解】（1）解：①＝的解是，

∵，

∴①不是“和解方程”；

②的解是，

∵，

∴②是“和解方程”；

③的解是，

∵，

∴③不是“和解方程”；

故答案为：②．

（2）∵，

∴，

∴，

∵即是“和解方程”，

∴，

∴；

（3）∵，

∴，

而是“和解方程”，

∴，

∴，（①式）

∵，

∴，

而是“和解方程”，

∴，

∴，（②式），

由①-②得：，

∴

．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键．

25．(1)2

(2)

(3)

【分析】（1）先分别解方程得，解方程得，再根据“稻香方程”的定义即可求解；

（2）解关于x方程得，解关于x的方程得，根据“稻香方程”的定义得到，求出；

（3）关于x方程的解是，关于x方程的解是，根据题意得到，整理得，代入即可求解．

【详解】（1）解：解方程得，

解方程得，

因为方程是方程的“稻香方程”，

所以．

故答案为：2；

（2）解：解关于x方程得，

解关于x的方程得，

关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”（）

所以，

整理得，

因为，

所以，

；

（3）解：因为，

所以关于x方程的解是，关于x方程的解是，

因为关于x方程是方程的“稻香方程”，

所以，

整理得，

所以．

【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键．

26．(1)1

(2)有限个，分别为1，0，2，-1

【分析】（1）把代入，解方程得，根据“友好系数”定义即可求解；

（2）解关于x方程得，得到当，，，时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，，，2，-1，，，根据友好系数”定义得k的值为1，0，2，-1.，从而得到结论．

【详解】（1）解：当时，原方程化为：，

整理得：，

解得：，

即当时，方程的解为整数．

根据新定义可得：是方程的“友好系数”；

（2）解：，

去分母得：，

整理得：，

方程的解为：，

当，，，时，满足方程的解x为整数，

此时k的值为：1，0，，，2，-1，，，

经检验，取上述k的值，均不为0，

其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1．

所以方程“友好系数”的个数是有限个，

分别为1，0，2，-1．

【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义“友好系数”，正确解出含有字母系数的一元一次方程是解题关键，注意当时，若x为整数，则为6的整数因数．

27．(1)9

(2) 或

(3)2022

【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；

（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；

（3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解．

【详解】（1）解：∵3x+m=0

∴x

∵

∴x=4

∵关于x的方程与方程是“美好方程”

∴

∴m=9．

（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1

∴另一个方程的解是1-n

∵两个解的差是8

∴1-n-n=8或n-（1-n）=8

∴ 或 ．

（3）解：∵

∴x=-2022

∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”

∴关于x的一元一次方程的解为：

x=1-（-2022）=2023

∴关于y的一元一次方程可化为

∴y+1=x=2023

∴y=2022．

【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．