中考数学计算专项训练专题8解一元二次方程含解析答案

专题8�解一元二次方程

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

2．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ）

A．0， B．0，0 C．， D．，0

3．一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

5．小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

6．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（    ）

A． B． C． D．

7．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ）

A． B． C．且 D．且

8．关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ）

A．36 B．9 C．6 D．

10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）

A． B．且 C．且 D．

11．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

12．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ）

A．2或6 B．2或8 C．2 D．6

13．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）

A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0

14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（    ）

A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在

15．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ）

A．－2 B．2 C．－1 D．1

16．若，则      ．

17．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则      ．

18．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为      ．

19．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为      ．

20．解方程：

21．解方程：

(1)．（直接开平方法）

(2)（配方法）

(3)（因式分解法）

(4)（公式法）

22．选择适当的方法解下列方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

23．阅读下面的材料：

解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．

它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．

仿照上述换元法解下列方程．

(1)；

(2)．

24．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

25．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．

26．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

参考答案：

1．B

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，

∴﹣1+α＝﹣1，

∴α＝0，

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．

2．B

【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．

【详解】解：根据题意，

∵是一元二次方程的一个根，

把代入，则

，

解得：；

∴，

∴，

∴，，

∴方程的另一个根是；

故选：B

【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．

3．A

【分析】根据即可判断．

【详解】解：，，，

，

一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．

4．A

【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．

5．A

【分析】先根据“只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，再用根的判别式判断根的情况即可．

【详解】解：∵小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，

∴﹣4+c＝0，

解得：c＝3，

故原方程中c＝5，

则＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，

则原方程的根的情况是不存在实数根．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

6．C

【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．

【详解】解析：关于x的方程有实数根，

，

解得，

故选C．

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．

7．A

【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．

【详解】解：∵，

∴，

即，

∵关于的方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．

8．A

【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，

∴，

解得．

故选：A．

【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．

9．B

【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可．

【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴

解得：

故选B

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

10．B

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，

∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，

解得：a＞-1且a≠0，

故选：B．

【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

11．A

【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．

【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，

∴，，

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

12．A

【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．

【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,

∴,

∴

∵是方程的两个实数根,

∵，

又

∴

把代入整理得,

解得,

故选A

【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．

13．B

【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.

【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，

所以此时方程为： 即：

小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，

所以此时方程为： 即：

从而正确的方程是：

故选：

【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.

14．A

【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，

∴，

解得：m>−1且m≠0，

∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根，

∴，，

∵，

∴，

∴m=2或−1，

∵m>−1，

∴m=2．

故选：A．

【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．

15．D

【分析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．

【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

，

，

，

整理得出：，

解得：，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，．

16．

【分析】设．则原方程转化为关于的一元二次方程，即；然后解关于的方程即可．

【详解】解：设．则

，即，

解得，或不合题意，舍去)；

故．

故答案是：．

【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的的取值范围：．

17．

【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．

【详解】解：将代入方程，得：

，

解得：，

又∵是一元二次方程，

∴，，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．

18．

【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．

【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，

∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=4，ab=3，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

19．2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．

【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，

∴x12＝2x1﹣k+1，

∵＝x12+2x2﹣1，

∴＝2（x1+x2）﹣k，

∴＝4﹣k，

解得k＝2或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

20．，

【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．

【详解】解：∵

∴或

解得，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．

21．(1)

(2)

(3)

(4)，

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；

（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；

（3）利用因式分解法解方程．

（4）求出，根据公式即可求出答案；

【详解】（1）解：，

两边除以4得：，

两边开平方得：，

∴；

（2）解：，

∴，

∴，

即，

∴

所以；

（3）解：

∴，

∴或，

所以．

（4）解：，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

22．(1)，

(2)，

(3)，

(4)

(5)，

【分析】（1）先移项，再利用因式分解法求解即可；

（2）先移项，再利用因式分解法求解即可；

（3）先把系数化为1，再直接开平方求解即可；

（4）先移项，再利用完全平方公式求解即可；

（5）先移项，去括号，合并同类项，再利用因式分解法求解即可．

【详解】（1）解：，

移项得：，

提取公因式得：，

，，

，；

（2）解：，

移项得：，

因式分解得：，

，，

，；

（3）解：，

系数化为1得：，

开平方得：，

，，

，；

（4）解：

移项得：，

因式分解得：，

，

；

（5）解：，

移项得：，

去括号得：，

化简得：，

因式分解得：，

，，

，．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．

23．(1)

(2)，

【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程；

（2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．

【详解】（1）令

∴

 ∴

∴，

∴（舍去），  

∴；

（2）令  

∴

∴   

∴

∴，

∴，       

∴，

经检验，，为原方程的解.

【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

24．（1）见详解；（2）

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【详解】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，

∴，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，

∴，

解得：，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．

25．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1

【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；

【详解】解：（1）

∵△=

=

∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．

（2）∵

∴

∴=0

∴，或，

当，时，

∵k与都为整数，

∴k=0或-2

当，时，

∴，

∵k与都为整数，

∴k=1或-1

∴k所有可能的值为0或-2或1或-1

【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．

26．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；

（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．

【详解】（1），

∵，

∴，

该方程总有两个不相等的实数根；

（2）方程的两个实数根，，

由根与系数关系可知，，，

∵，

∴，

∴，

解得：，，

∴，即．

【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．