广东省化州市林尘中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省化州市林尘中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年度高中数学9月月考卷考试时间：150分钟；命题人：高二数学组第I卷（选择题）一、单选题1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）A． B． C． D．2．若，则=（    ）A． B． C． D．3．若向量垂直于向量和，向量，，且，则　　A． B．C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能4．同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ）A． B． C． D．5．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）A．(1，－1,1) B．(1,3，)C．(1，－3，) D．(－1,3，－)6．已知，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．27．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则与共线C．若，则 D．8．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件二、多选题9．下列四个选项中说法正确的是（    ）A．若是空间向量的一组基底，则也是空间的一组基底B．若空间的三个向量，，共面，则存在唯一实数，，使C．若两条不同的直线l，m的方向向量分别是，，l∥mD．若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则⊥10．在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）
 A．直线的一个方向向量为               B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为 
11．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ） 
 A．     B．  C．      D．                                        
12．在平行六面体中，已知，，则（    ）、A．直线与所成的角为    B．线段的长度为C．直线与所成的角为    D．直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题）三、填空题13．向量，，若与共线，则实数x与y的和为      ．14．已知的顶点坐标为，，，若，则m的值为          ．15．若,,,则      .16．已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，则＝        .四、解答题17．已知，，.求：(1)；(2).18．已知空间三点，，(1)求向量与的夹角的余弦值，(2)若向量与向量垂直，求实数k的值．19．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.20．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．(1)用，，表示并求BM的长；(2)求点A到直线BM的距离．21．如图，在长方体中，，交于点．  (1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．22．如图，在棱长为1的正方体中，分别为、、的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面；(3)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．
参考答案：1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.2．D【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.【详解】.故选：D3．B【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断．【详解】解：向量垂直于向量和，则，，又向量，所以，所以．故选：．4．A【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案.【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），根据古典概型，概率为，故选：A.5．B【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.【详解】对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选:B6．D【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因为，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.7．B【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可.【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误；对B，，当与存在零向量时，与共线成立；当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确；对C，若，则，不能得出，故C错误；对D，，，故不成立，故D错误；故选：B8．A【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.9．AC【分析】根据向量，，不共面得到 A正确，当时，不一定存在实数，，使，故B错误，根据直线的方向向量的定义知C正确，计算得到，D错误，得到答案.【详解】对于A：已知向量，，是空间的一组基底，即向量，，不共面，则向量，，也不共面，∴，，是空间的一个基底，故A正确；对于B：当时，若三个向量，，共面，即与共面，则不一定存在实数，，使，故B错误；对于C：根据直线的方向向量的定义可知，，故C正确；对于D：∵两平面的法向量，，∴，即，∴，故D错误；故选：AC.10．ABC【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量.【详解】依题意，，，，，，，所以，所以直线的一个方向向量为，故A正确；，所以直线的一个方向向量为，故B正确；，又平面，所以平面的一个法向量为，故C正确；又，，因为，所以，所以向量不是平面的法向量，故D错误；故选：ABC11．AB【分析】设正方体的棱长得到点A，E，F的坐标，从而得到平面AEF的法向量满足的条件，对z合理赋值逐一判断即可.【详解】设正方体的棱长为2，则易得，则，设平面AEF的法向量为，则有，即，令得平面AEF的法向量为，令得平面AEF的法向量为，令得平面AEF的法向量为.故选：AB.12．AC【分析】设，将分别用表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面平面，从而可得与平面所成的角为，再解即可.【详解】设，则，且，对于A，，，所以直线与所成的角为，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，连接，交于点，则为的中点，因为，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则与平面所成的角为，在中，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误.故选：AC.13．【分析】先由向量平行，得到利用系数对应相等构建关系，即可求出，即得结果【详解】解：因为与共线，所以存在使得，因为，，所以，解得，所以，故答案为：14．2或【分析】根据两向量垂直则数量积为0求解即可.【详解】由题意，，，又，则，解得.故答案为：2或15．【分析】先求出向量的和,再利用数量积的坐标形式可求数量积.【详解】,故,所以.故答案为:.16．120°/【分析】利用空间向量数量级的运算律可得，再由已知及空间向量数量积的定义求即可【详解】由题设，，∴，又＝(1,－2,－2)，＝12，∴，又∈[0°,180°]，∴＝120°.故答案为：120°17．(1)(2)21 【分析】（1）根据向量坐标的线性运算公式，即可求解；（2）首先求的坐标，再根据数量积的坐标表示公式，即可求解.【详解】（1）（2），，所以.18．(1)﹣(2)k＝2 【分析】（1）求出与及模长，利用空间向量夹角公式进行求解；（2）根据空间向量垂直得到方程，结合第一问求出实数k的值.【详解】（1），，，，故，所以.（2）∵向量与向量垂直，∴，即，解得：k＝2．19．（1）（2）【解析】(1）根据向量的运算性质求出即可；(2）根据向量的运算性质代入计算即可.【详解】（1），故∵点E为AD的中点，故（2）由题意得故故20．(1)，BM的长为．(2)2 【分析】(1)根据空间向量的基本定理可得，利用空间向量的几何意义，等式两边同时平方，计算即可；(2)由(1)可得，进而可得，即为点A到直线BM的距离.【详解】（1）又，，，故BM的长为．（2）由（1）知，，∴，所以，则为点A到直线BM的距离，又，故点A到直线BM的距离为2．21．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由，证得平面，同理可证平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理可证，且平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则取，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．  22．(1)(2)证明见解析(3)为棱的中点时，平面，证明见解析. 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明求解即可；（2）利用空间向量证明空间位置关系即可；（3）设出点的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】（1）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图.则，所以，，所以，所以，异面直线与所成角的余弦值为.（2）证明：由（1）得，所以，，所以，所以，平行于平面，又平面，所以平面.（3）解：为棱的中点时，平面，证明如下：证明：依题意，设，，则，因平面，，则当且时，平面，由（1）知，，解得，所以当，即为棱的中点时，平面