河南省平顶山市第四十一中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷+

2023-2024学年河南省平顶山四十一中九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D. 、、为常数

2.若菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知一元二次方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列说法正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

5.如图，为菱形的对角线，已知，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长是(    )

A. 或 B.  C.  D.

7.如图正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.关于的方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定

9.如图，已知，点在边上，点在边上，且，点在边上，小明，小红分别在图，图中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是(    )

 

A. 小明，小红都对 B. 小明，小红都错
C. 小明错误，小红正确 D. 小明正确，小红错误

10.如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．

12.如图，在平行四边形中，添加一个条件          ，使平行四边形是矩形．

 

13.某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树棵，第三年植树棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意列出方程______ ．

14.如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为______．

15.矩形中，为对角线的中点，点在边上，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解下列方程：
；
．

17.本小题分
如图，在中，，平分四边形是平行四边形，交于点，连接．
求证：四边形是矩形．

18.本小题分
已知关于的方程．
试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根为，求的值．

19.本小题分

在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，如图，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为，问道路应为多宽？

20.本小题分
已知：如图中，，为的平分线，于点，于点．
求证：四边形是正方形．

 

21.本小题分
定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．

22.本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
求证：四边形是菱形；
过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．

23.本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______ ．
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图，当点在上时， ______ ， ______ ；
改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展应用
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是一元二次方程，符合题意；
B、，含有两个未知数，最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、、、为常数，一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别为和，
菱形的面积为，
故选：．
根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即，
故选C．
方程常数项移到右边，两边加上配方得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：．
直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

6.【答案】 

【解析】【分析】
用因式分解法求出方程的两个根分别是和，由三角形的三边关系，为底，为腰，可以求出三角形的周长．
本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
【解答】
解：，
，
，．
三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，，
只能是腰长是，底边是，
周长为：．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，于点，
则：，

正方形，
，，
，四边形为矩形，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
≌，
正方形的面积等于四边形的面积，
，
负值已舍掉；
；
故选：．
过点作，，证明≌，进而得到四边形的面积等于正方形的面积，进而求出的长，即可得解．
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．

8.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

9.【答案】 

【解析】解：由作图过程可知：小明，小红分别在图，图中作了矩形，平行四边形，
两个图形中的，
，，
两个图形中都有≌，
，
射线是的角平分线，
小明，小红都对．
故选：．
由作图过程可得小明，小红分别在图，图中作了矩形，平行四边形，所以两个图形中的，两个图形中都有≌，可得小明，小红所作射线都是的角平分线，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．

10.【答案】 

【解析】【解答】
解：连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
，
在与中，
≌，
，，
，
，
点是的中点，是的中点，
，
故选：．
【分析】
连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由时，，时，，
由函数的增减性，得的解满足，
故答案为：．
观察表格确定出方程的一个解的范围即可．
本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．

12.【答案】答案不唯一 

【解析】【分析】
本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
根据矩形的判定方法即可解决问题．
【解答】
解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是：
对角线相等的平行四边形是矩形．
故答案为答案不唯一．

13.【答案】 

【解析】解：设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意得：
．
故答案为：．
设该校植树棵数的年平均增长率为，根据“第一年植树棵，第三年植树棵”列出方程，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：连接．
的长度固定，
要使的周长最小只需要的长度最小即可，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
的最小长度为的长，
菱形的边长为，为的中点，，
是等边三角形，
又菱形的边长为，
，，，
的最小周长，
故答案为：．
连接，与的交点即为使的周长最小的点；由菱形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证明是等边三角形，得出，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，当时，

则，
四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
，
；
如图，当时，

则，
为对角线的中点，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况，当时，当时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．

16.【答案】解：，
则，
则或，
解得，；
，，，
，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解可得；
利用公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

17.【答案】证明：，平分，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据已知条件易知四边形是平行四边形．结合等腰“三线合一”的性质证得，即，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

18.【答案】解：

，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
方程有一个根为，
，
整理，得：，




． 

【解析】计算出即可得出答案；
由方程的解的概念得出，代入到计算即可．
本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

19.【答案】解：设道路为米宽，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
答：道路为宽． 

【解析】本题中，试验地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可．
对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积各部分面积之和；剩余面积原面积截去的面积．

20.【答案】证明：平分，，，
，，，
又，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形． 

【解析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
要证四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，已知平分，，，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形是正方形．

21.【答案】解：一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，，，
，
一元二次方程是黄金方程；
是关于的黄金方程，
，
，
原方程为，
是此黄金方程的一个根，
，即，
，
解得或． 

【解析】根据黄金方程的定义进行求解即可；
根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据垂直的定义得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．

23.【答案】或或或任写一个即可     

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或任写一个即可；

由可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
，
故答案为：，；

，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
；

由折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．