高三数学一轮同步分层训练第03练 基本不等式及其应用

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第03练 基本不等式及其应用
【A级】基础训练
一、单选题
1．（2023春·四川眉山·高二校联考阶段练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．（2023春·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习）已知，，且，则ab的最小值为（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
4．（2023·全国·高一专题练习）若，则的最小值是 （    ）
A． B．1
C．2 D．
5．（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）若正实数满足，则的（    ）
A．最大值为9 B．最小值为9
C．最大值为8 D．最小值为8
8．（2023·全国·高一专题练习）若正实数，满足．则的最小值为（   ）
A．12 B．25 C．27 D．36

二、多选题
9．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·云南曲靖·高二校考期中）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
11．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知正数满足，则（    ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2023秋·全国·高一随堂练习）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
13．（2023秋·高一课时练习）若，则的最小值为 ．
14．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）非负实数x，y满足，则的最小值为 ．

15．（2023·全国·高一专题练习）已知非负数满足，则的最小值是 .
16．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
【B级】提升训练
一、单选题
1．（2023秋·高二期末考）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
2．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若实数，，满足，以下选项中正确的有（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
3．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A．2 B．4 C．8 D．9

二、多选题
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
6．（2023春·河北唐山·高二开滦第二中学校考阶段练习）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

三、填空题
7．（2023·江苏·高一专题练习）已知，且，则的最小值为 ．
8．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）设，则的最小值为 .
【C级】能力训练
一、单选题
1．（2023春·天津滨海新·高一校考阶段练习）已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）
A．2 B． C．3 D．

二、多选题
4．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（    ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
5．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为

三、填空题
6．（2023春·广东清远·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．

参考答案
【A级】基础训练
1．D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
2．C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
3．C
【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以
所以的最小值为5.
故选：C
4．C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
5．D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
6．C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即.故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
7．B
【分析】由1的妙用结合基本不等式可得.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为9，无最大值.
故选：B
8．C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
9．AD
【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.
【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A选项正确，B选项错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；
，D选项正确.
故选：AD
10．AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.
【详解】对于A，，所以，，当且仅当时等号成立，但此时，，与题意不符，故A错误；
对于B，，解得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，所以，，
当时，此时，，所以，的最小值为，故D正确.
故选：BCD
12．AB
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
13．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．0
【分析】分和x，两种情况求解即可.
【详解】当时，；
当x，时，由得，
所以（当且仅当,即 时，等号成立）．
所以的最小值为0．
故答案为：.
15．4
【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可.
【详解】由，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
16．
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
【B级】提升训练
1．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，

，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
3．A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.

【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=

2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，

故2x+y的最小值为4.

故选:A

4．C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
5．ABC
【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；
根据离心率求出，则，即可判断B；
设上顶点，得到，即可判断C；
根据利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D不正确．
故选：ABC
6．BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
7．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
8．
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】

，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
【C级】能力训练
1．B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.
故选：B
2．B
【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
故选：B
3．D
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即

，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
4．ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，有，
当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；
因为，则，
当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B正确；
  
设直线方程为：，，由消去y得：，则，
，同理，
因此，C错误；
四边形面积，
当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
5．AD
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD

6．9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．

下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．

由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单






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