高三数学一轮同步分层训练第05练 函数的性质

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第05练 函数的性质
【A级】基础训练
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（    ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）若是奇函数，则（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市十二中校考期中）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·江苏苏州·高三校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数，且，，则（    ）
A．是函数的一个极大值点
B．
C．函数在处切线的斜率小于零
D．
10．（2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ）
A． B．
C． D．
11．（2023·安徽滁州·校考二模）已知函数，则（    ）
A．是奇函数
B．的单调递增区间为和
C．的最大值为
D．的极值点为
12．（2023春·江苏泰州·高二江苏省兴化中学校联考阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（    ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点

三、填空题
13．（2023秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且当时，.若，则 .
14．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 .
15．（2023春·贵州铜仁·高一贵州省松桃民族中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
【B级】提升训练
一、单选题
1．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023春·北京·高二101中学校考期中）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津河北·统考二模）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
6．（2023·山西大同·校联考一模）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则 .
【C级】能力训练
一、单选题
1．（2023·山西大同·校联考一模）已知a，b，c满足，，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则这三个数的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
4．（2023春·云南临沧·高二校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是

三、填空题
6．（2023春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为 ．




参考答案
【A级】基础训练
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D

2．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.

3．C
【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.
【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
4．D
【分析】根据图象判断函数的奇偶性，结合特殊值，可得答案.
【详解】易知为偶函数，由，则为奇函数，
由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意.
因为当时，无意义，所以C不符合题意.
故选：D.
5．D
【分析】利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】当时，，
因为，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由可得，解得，
故选:D.
6．D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
7．B
【分析】构造函数，求导可得的单调性，进而可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.
故选:B
8．A
【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，
当时，函数且，图象如选项B中的图象；
当时，若时，函数，可得，
函数在区间单调递增，此时选项C符合题意；
当时，若时，可得，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以选项D符合题意.
故选：A.
9．AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在上单调递减，
故是函数的一个极大值点，，A、B正确；
∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；
又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
10．BD
【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.
对于A，定义域为，所以不满足题意；
对于B，定义域为，，符合题意；
对于C，定义域为，，不符合题意；
对于D，定义域为，，而，符合题意.
故选：BD.
11．AB
【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性可知，的单调递增区间为和，单调减区间为，所以无最大值，极大值点为，极小值点为.
【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；
令可得或，即的单调递增区间为和，故B正确；
由B可知，在单调递增，所以无最大值，即C错误；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点不是点，所以错误.
故选：AB
12．ABC
【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.
【详解】对于A：，
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，B正确；
对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；
故选：ABC
13．-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
14．
【分析】根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，
，，


故答案为：.
15．44
【分析】根据奇函数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：44.
16．
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【B级】提升训练
1．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2．C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．D
【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.
【详解】依题意是定义域为R的偶函数，
，
，
，
，
，
，
，
由于在上单调递增，所以.
故选：D
5．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
  
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.

6．BD
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
7．
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.
【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
8．
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算出的值，结合以及周期性可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
故答案为：.
【C级】能力训练
1．B
【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，

根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.
2．A
【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解
【详解】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
3．C
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得.
【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，
又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以，
所以关于直线对称，且在单调递增．
所以，
两边平方，化简得，解得．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.
4．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

5．BC
【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.
【详解】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
6．
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则
因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，
因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得
所以，
所以，，，，，
所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，
所以，的解集为，
所以，不等式的解集为
故答案为：