第七章　§7.6　空间向量的概念与运算（教师版+学生课时教案+课时作业+配套PPT）

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1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面 位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝________.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝_______________.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
|a||b|cs〈a，b〉
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　 　)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　 　)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有 ＝0.(　 　)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　)
A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝____.
∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
A.(2,3,3) B.(－2，－3，－3)C.(5，－2,1) D.(－5,2，－1)
用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
例2　(1)下列命题正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc
空间向量基本定理及其应用
(2)(多选)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
A.2 B.－2 C.1 D.－1
空间向量数量积及其应用
(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求线段AC1的长；
②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
③求证：AA1⊥BD.
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4).
例4　如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD.
1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于A.－6 B.6 C.－4 D.4
2.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有A.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
4.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是
D.向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
6.(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是A.向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直B.向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
7.已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3).若l⊥α，则a＋b＝____.
又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
9.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；
10.如图，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
∴D1P∥平面BDC1，C正确；
∴A1C⊥AP，∵AD1∩AP＝A，AD1，AP⊂平面D1AP，∴A1C⊥平面D1AP，D正确.
12.(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN，则下列命题正确的是A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MC
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确.
14.(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs∠EAF＝_____，EF＝_____.
(1)求证：AB⊥平面PAC；
所以PA⊥AB，AB⊥AC，因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1).