13.1命题.定理与证明 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

13.1命题.定理与证明华东师大版初中数学八年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是(    )

A.  B.  C.  D.

2.说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3.可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.下列命题：
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
垂直于同一条直线的两直线互相平行；
同位角相等；
平移过程中对应点所连线段一定平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
其中错误的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.下列假命题的个数是(    )
垂直于同一条直线的两条直线可能相交；
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
立方根等于本身的数有三个是、和；
实数与数轴上的点一一对应；
若且，则在第三象限．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.下列命题：在同一平面内，已知直线、，若，，则；在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；已知直线，，如果，，那么其中正确的命题是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7.下列命题是假命题的是(    )

A. 已知，，三条直线，若，，则
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
D. 成中心对称的两个图形，对称点所连线段都被对称中心平分

8.下列命题真命题的个数有(    )
经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
若，则；
同位角相等；
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.有下列命题：
无理数是无限小数；
平方根与立方根相等的数有和；
过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
实数与数轴上的点一一对应．
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.下列命题是假命题的是(    )

A. 两点之间，线段最短 B. 角的平分线是一条射线
C. 三角形的中线的交点在三角形内部 D. 三角形的高的交点在三角形内部

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.关于某四边形的三个特征描述：对角线垂直；一组邻边相等；对角线互相平分；选择其中两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则选择的条件可以是______ 填序号，只需写出一种

12.如图，在和中，点，，，在同条一直线上，下列个条件：；；；，请你从中选个条件作为题设，余下的个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______ ，作为结论的条件序号为：______ ．

13.“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______ ．

14.下列命题是真命题的是______ ．
一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等．
有两边对应相等的两个直角三角形全等．
有两边及一角对应相等的两个三角形全等．
有两锐角及一边对应相等的两个三角形全等．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
已知：如图，，B.
 

求证：．

若，，求的度数．

16.本小题分
按要求完成下列各小题．
将命题“两个钝角的和一定大于”写成“如果那么”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；
判断命题“若，则”是真命题还是假命题，若是真命题，则举一个满足命题的例子；若是假命题，则举一个反例．

17.本小题分
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而证明则是由条件出发，根据已给定的定义、基本事实和已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论的过程请根据以上方法求证：四边形内角和等于．

18.本小题分
如图，，，，请从中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：______
结论：______
证明：

19.本小题分

如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部给出下列信息：；平分；请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．

20.本小题分
探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点与有怎样的数量关系？
我们发现与有两种位置关系：如图与图所示．

图中与数量关系为______ ；
图中与数量关系为______ ；
请根据图情况完成下面推理过程．
已知 ______
______
______ 等量代换
由得出一个真命题用文字叙述：______ ．
应用中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A的反例不满足命题的条件，不符合；
选项B、满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例；
故选：．
说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断．
本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键．

2.【答案】 

【解析】解：、当时，，与原命题矛盾，故原命题为假命题，符合题意；
B、不符合条件，故B不符合题意；
C、当不符合条件，故C不符合题意；
D、不符合条件，故D不符合题意．
故选：．
根据举反例的定义：符合某个命题的条件，但不符合该命题结论的例子，即可进行解答．
本题主要考查了用举反例的定义，解题的关键是熟练掌握举反例的定义：符合某个命题的条件，但不符合该命题结论的例子．

3.【答案】 

【解析】解：，满足，但不满足，
故当，时符合题意，
故选：．
找到一对满足，但不满足的、的值即可．
本题考查了命题与定理，解题的关键是了解相等或互为相反数的两数的平方相等．

4.【答案】 

【解析】解：，应该是在同一个平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；说法错误；
，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，说法错误；
，两直线平行时，同位角才相等，说法错误；
，根据平移的性质可得，说法正确；
，根据平行线的性质可得，说法正确；
综上，错误的个数为，
故选：．
根据平行线的性质，平移的性质等对选项逐个判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．

5.【答案】 

【解析】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，不会相交，在空间内，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，故正确；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
立方根等于本身的数有三个是、和，故正确；
实数与数轴上的点一一对应，故正确；
若且，则，，那么在第三象限，故正确；
综上可知，只有是假命题，
故选：．
根据垂直和相交的定义判断即可；
根据平行公理的推论判断即可；
根据立方根的定义判断即可；
根据实数与数轴上点的关系判断即可；
根据平面直角坐标系中的点的特征判断即可．
本题考查了立方根、平行公理及推论、实数与数轴、直线位置关系、平面直角坐标系等知识，掌握相关定义与公理是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：直线、，若直线，，则故错误．
在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故正确．
在同一平面内过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故错误．
已知直线、，如果，，那么，故正确．
故选：．
根据平行线的定义和平行公理及推论和垂直的性质判断即可．
本题主要考查平行线的定义和平行公理推断以及垂直的性质，熟悉掌握掌握这些性质是解决本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、在同一平面内，已知，，三条直线，若，，则，原命题是假命题；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是真命题；
D、成中心对称的两个图形，对称点所连线段都被对称中心平分，是真命题；
故选：．
根据平行线的判定、轴对称性质以及点到直线的距离进行判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8.【答案】 

【解析】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
若，则，原命题是假命题；
两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
故选：．
分别根据平行线公理，以及垂线段的定义和性质和不等式的性质分别判断得出即可．
此题主要考查了真假命题，掌握相关的定理与性质是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：无理数是无限小数，故说法正确；
平方根与立方根相等的数有，故说法错误；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；
两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等；故错误；
实数与数轴上的点一一对应；故正确；
故选：．
根据无理数的定义，平方根和立方根的性质，平行公理，平行线的性质，实数与数轴，逐一进行判断即可．
本题考查无理数，平方根和立方根的性质，平行公理，平行线的性质，实数与数轴，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：两点之间，线段最短，是公理，说法正确，是真命题；
B.角的平分线是一条射线，说法正确，是真命题；
C.三角形的中线的交点在三角形内部，说法正确，是真命题；
D.三角形的高的交点不一定都在三角形内部，如钝角三角形，原说法错误，是假命题；
故选：．
分别根据线段公理，角平分线的定义，三角形中线及高线的特点进行判断即可．
本题考查了真假命题的判断，涉及段公理，角平分线的定义，三角形中线及高线，熟练掌握知识点是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：为条件，为结论时为真命题：
对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等；
为条件，为结论时为真命题：
对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直；
为条件，为结论时为假命题：
由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分；
故答案为：或仅需填写一个即可．
根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可．
本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

12.【答案】答案不唯一   

【解析】解：在和中，点、、、在同一条直线上，
如果，，那么．
证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
故答案是：答案不唯一；．
如果联合，利用易证≌，从而可得．
此题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，，，，是直角三角形的还有．

13.【答案】三个内角都等于的三角形是等边三角形 

【解析】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．
故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．
逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．

14.【答案】 

【解析】解：一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等，正确．
有两边对应相等的两个直角三角形全等，正确．
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，错误．
有两锐角及一边对应相等的两个三角形全等，正确；
故答案为：
利用全等三角形的判定定理分别对四个命题进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定，难度不大．

15.【答案】略
 

【解析】略

16.【答案】解：如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于，真命题；
假命题，反例：，． 

【解析】利用三角形内角和定理，以及乘方的意义判断即可．
此题考查了命题与定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

17.【答案】解：已知：如图，四边形是一个任意四边形．

求证：．
证明：连接，
的内角和是，
，
的内角和是，
，
，
，
四边形内角和． 

【解析】根据题意，写出已知、求证，并画出图形，再写出证明过程即可．
本题考查了四边形内角和的证明、三角形的内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握证明题的解答过程．

18.【答案】，   

【解析】解：条件：，；
结论：，
故答案为：，；；
证明：，
，
，
，
，
，
．
根据命题的概念，写出条件、结论；利用平行线的判定和性质即可解决．
本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．

19.【答案】解：选择作为条件，作为结论．理由如下：
，
，，
，
，
平分；
选择作为条件，作为结论．理由如下：
，
，，
平分，
，
；
选择作为条件，作为结论．理由如下：
平分，
，
，，
，
； 

【解析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题．

20.【答案】互补；  相等；
；两直线平行，同旁内角互补；  ；
如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
设一个角为，另一个较为，
当两角相等时，，
，
当两角互补时，，
，
故两种情况，和或和． 

【解析】，
，
故答案为：互补；相等；
如图，
已知，
，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；
由得出一个真命题用文字叙述：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补，
故答案为：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
见答案．
分别由图，图根据平行线的性质推理得出答案；
由图根据平行线的性质推理得出结论过程；
总结得出，如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
利用的结论，列等式即可得答案．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，难度不大．