13.3等腰三角形 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

13.3等腰三角形华东师大版初中数学八年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，，，三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，相交于点，且分别与，相交于点，有以下结论：其中正确结论的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.如图，是等边三角形，，，则的度数是 
(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.如图，在中，，是的中点，下列结论：；；；，其中，一定正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.在中，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，，在上截取，连接，当时，的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，已知是等腰三角形，，点是上任意一点，，，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.已知实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长是(    )

A. 或 B.  C.  D. 以上均不对

8.如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.如图，与均为等边三角形，为，的中点，点在边上，则：的值(    )

A. ．：
B. ：
C. ：
D. 不能确定

10.如图，在中，，是内一点，，是边上一点若平分，，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.某数学兴趣小组探索对称的有关性质，如图，在中，，．
第一步，在边上找一点，将沿折叠，点的对应点为；
第二步，将沿折叠，点的对应点为．
当点、与任意一个顶点共线时，线段的长为______ ．

12.如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点，，垂足为，另一腰上的高交于点，垂足为，若，则的长为____．

 

13.如图，在中，，，点在线段上运动不与，重合，连接，作，交于点若是等腰三角形，则的度数是__________．
 

14.如图，在四边形中，，，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为__________
 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
如图，平分，，垂足为点，．

求证：是等腰三角形．

16.本小题分
如图，已知在中，，平分，平分．
尺规作图：在射线上找一点，使得线段的长度最小；要求：不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，求证：．

17.本小题分

已知：如图，点，，分别在等边三角形的三边上，且求证：是等边三角形．

18.本小题分

如图，在中，，点，在边上，，点在的延长线上，若，求的度数．

19.本小题分
如图，是等边三角形，、分别是边、上的点，且，且、交于点，且，垂足为．
 

求证：

若，求的长度．

20.本小题分

如图，是的边延长线上一点，、分别平分、．
若，求证：是等腰三角形；
试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】略

2.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
≌，
，
故选C．

3.【答案】 

【解析】解：根据等腰三角形的“三线合一”性质得出，，，
正确．
故选：．
根据等腰三角形的“三线合一”性质得出，，，即可．
本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
为等边三角形，
．
故选：．
先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求得，然后根据平行线性质即可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
当以，的值为边长的等腰三角形的边长为，，时，，不能构成三角形；
当以，的值为边长的等腰三角形的边长为，，时，
三角形的周长为，
故选：．
根据绝对值的非负性以及偶次方的非负性得出，的值，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系进行解答即可．
本题考查了绝对值的非负性以及偶次方的非负性，等腰三角形的定义以及三角形三边关系的应用，根据题意得出，的值是解本题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，轴对称的基本性质，连接，过点作于点，根据轴对称的性质以及等腰三角形的性质推出，进而可求出结果．
【解答】
解：连接，过点作于点，

，，，，，
，
．

9.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

，均为等边三角形，为，的中点，
，，
，，
，
，
，
即，
∽，
：：：：．
故选：．
连接、，由已知可以推出，推出∽，根据锐角三角函数即可推出：的值．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．

10.【答案】 

【解析】略

11.【答案】或 

【解析】解：当直线过时，如图：

沿折叠，点的对应点为，
，
沿折叠，点的对应点为，
，，
，
，
在中，，即，
，
；
当过时，如图：

沿折叠，点的对应点为，
，
，
在中，，
，，
沿折叠，点的对应点为，
，，
，
在中，，
即，
，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
分两种情况：当直线过时；当过时，根据沿折叠，点的对应点为，，利用翻折的性质及结合锐角三角函数，在直角三角形中求解．
本题考查等腰三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，锐角三角函数，熟练应用含的直角三角形三边的关系．

12.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，过点作交于点，过点作，根据等腰三角形各角之间的关系得出，再由垂直及等量代换得出，利用等角对等边确定，，再由全等三角形的判定和性质求解即可．

【解答】
解：过点作交于点，过点作于，如图所示：

，，，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
在与中，
≌
，

13.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
分类讨论：当时；当时；当时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【解答】
解：，，
，
分三种情况：当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，
，
此时，点与点重合，不合题意．
综上所述，若是等腰三角形，则的度数为或．
故答案为：或．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查图形的翻折变换，含角的直角三角形、等腰直角三角形的性质等．

根据，，推出，可计算得到，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，即可得出答案．

【解答】

解：如图：

，，

，

，

，
，
，
，
，
，即：，
，
又，
．

15.【答案】证明：如图，

，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确得出是解题关键．

16.【答案】解：如图所示，点即为所求；
在中，，平分，
，，
，
平分，
，
，
根据平行线间间距线段和点到直线的距离垂线段最短可知点即为所求；

，，，
，
四边形是矩形，
；
 

【解析】以为圆心，以的长为半径画弧交射线于，点即为所求；
只需要证明四边形是矩形，即可证明．
本题主要考查了三线合一定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，矩形的性质与判定等，熟知相关知识是解题的关键．

17.【答案】略 

【解析】略

18.【答案】 

【解析】略

19.【答案】解：证明：是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
由可知，，
是的外角，
，
于，
，
在中，，，，
，
． 

【解析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质；解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明角相等的思路与方法．
首先根据等边三角形的性质得出，，根据，，即，然后证明，根据全等三角形的性质得出即可；
利用三角形的外角性质求出，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质求出的长即可．

20.【答案】证明：，
，，
平分，
，
，
；
解：，
理由：平分，平分，
，，
是的一个外角，
，
是的一个外角，



． 

【解析】根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答；
根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，从而利用等量代换进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质是解题的关键．