2023-2024学年江苏省苏州市常熟市梅李中学九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟市梅李中学九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省苏州市常熟市梅李中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.估计的值在(    )A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间2.若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.如果与互为相反数，则等于(    )A.  B.  C.  D. 4.某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有天下了雨，并且有天晚上是晴天，天早晨是晴天，则这一段时间有
(    )A. 天 B. 天 C. 天 D. 天5.如果分式的值为，那么的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 或6.已知，是方程的两根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 8.如图，是的直径，与相切于点，交于点，若，则等于(    )A.
B.
C.
D. 9.如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，则的度数是(    )

 A.  B.  C.  D. 10.如图，矩形中，，点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.化简：______．12.分解因式：          ．13.若一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是________．14.如图，已知菱形的周长为，面积为，为的中点．若为对角线上一动点，则的最小值为________．
 15.如图所示，在四边形中，，，它的一个外角，则的大小是______．
 16.二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为______．

 三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.解方程：．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.本小题分
已知关于的方程．
当该方程的一个根为时，求的值及该方程的另一根；
求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19.本小题分
如图，点、在上，，，，与交于点，求证：．
20.本小题分
如图，在中，点、分别在边、上，连接、，且．
证明：∽；
若，，当点在上运动时点不与、重合，且是等腰三角形，求此时的长．

 21.本小题分
近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：微信、支付宝、现金、其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次一共调查了多少名购买者？
请补全条形统计图；在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______度．
若该超市这一周内有名购买者，请你估计使用和两种支付方式的购买者共有多少名？22.本小题分
为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天．
甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
若甲队工作一天需付费用万元，乙队工作一天需付费用万元，如需改造的道路全长米，改造总费用不超过万元，至少安排甲队工作多少天？
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
，
的值在和之间．
故选：．
先估算出的大小，进而估算的范围．
本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．2.【答案】 【解析】解：不等式组无解，
，
解得：，
故选：．
利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是相反数和绝对值，根据相反数的定义求出的值，进而可得答案．
【解答】
解：如果与互为相反数，则，
则．4.【答案】 【解析】解：
解法一：设有天早晨下雨，这一段时间有天，
根据题意得：
得：

所以一共有天，
解法二：设一共有天，早晨下雨的有天，晚上下雨的有天，
根据题意得：，
解得：，
所以一共有天，
故选：．
解法一：根据题意设有天早晨下雨，这一段时间有天；有天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，总天数早晨下雨早晨晴天；总天数晚上下雨晚上晴天；列方程组解出即可．
解法二：列三元一次方程组，解出即可．
本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天．5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件可以求出的值．
【解答】
解：根据题意，得
且，
解得，．
故选：．6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：根据题意得，，
所以．
故选：．7.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8.【答案】 【解析】解：是的切线，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9.【答案】 【解析】【分析】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到．
，，，
，，
，
故选C．10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过≌，得到，求出，根据∽，即可得到结果．
【解答】
解；连接交于，

四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故选：．11.【答案】 【解析】解：．
故填：．
此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
此题考查了二次根式的加减，关键是把二次根式化简，再进行合并．12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．13.【答案】八 【解析】【分析】
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是，即这个多边形的内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设多边形的边数为，根据题意，得
，
解得．
则这个多边形的边数是八．14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题，作于，交于，连接、首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于，交于，连接、．

已知菱形的周长为，面积为，
，，
，
在中，，
，
与重合，
四边形是菱形，
垂直平分，
、关于对称，
当与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为．15.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据外角的概念求出，根据垂直的定义、四边形的内角和等于计算即可．
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于、外角的概念是解题的关键．16.【答案】或 【解析】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以不等式的解集为或．
故答案为或．
本题考查二次函数与不等式．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可．17.【答案】解：方程两边同乘以得：分
，分
整理得：，分
解得：，，分
经检验：是原方程的增根，分
所以，原方程的解为分 【解析】观察可得方程最简公分母为去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
解分式方程一定注意要验根．18.【答案】解：设方程的另一个根为，
则由根与系数的关系得：，，
解得：，，
即，方程的另一个根为；

，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】设方程的另一个根为，则由根与系数的关系得：，，求出即可；
写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果，是一元二次方程、、为常数，的两个根，则，，要记牢公式，灵活运用．19.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌，
，
． 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
求出，根据推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论．20.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
当时，，
，
，
，
点与重合，不合题意舍去；
当时，如图，
，
，
，
平分，
垂直平分，
；
当时，如图，
，，
∽，
：：，
，
，
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 【解析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
当时，则，得到，则点与重合，不合题意舍去；当时，如图，则，所以有平分，得到垂直平分，则；当时，如图，由∽，易得为等腰三角形，则，于是有．
本题考查了相似三角形的判定和性质，运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．21.【答案】解：名，
答：本次一共调查了名购买者；
补全的条形统计图如下图所示：

；
名，
答：使用和两种支付方式的购买者共有名． 【解析】【分析】
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
根据统计图中的数据可以求得选择和的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角的度数；
根据统计图中的数据可以计算出使用和两种支付方式的购买者共有多少名．
【解答】
解：见答案；
方式支付的有：人，
方式支付的有：人，
在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为：，
故答案为：；
见答案．22.【答案】解：设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为米，甲工程队每天能改造道路的长度为米．
设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，
根据题意得：，
解得：．
答：至少安排甲队工作天． 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据工作时间工作总量工作效率结合甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，根据总费用甲队每天所需费用工作时间乙队每天所需费用工作时间，结合总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．