中考数学一轮复习考点题型归纳与分层训练专题30 与圆有关的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）

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专题30 与圆有关的位置关系
【专题目录】
技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法
技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型
技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法
【题型】一、判断点与圆的位置关系
【题型】二、三角形外接圆的相关计算
【题型】三、确定圆的条件
【题型】四、判断直线与圆的位置关系
【题型】五、利用切线的性质定理进行计算
【题型】六、切线性质与判定的综合
【题型】七、利用切线长定理进行计算
【题型】八、三角形内切圆的相关计算
【题型】九、圆内接四边形的相关计算
【题型】十、判断圆与圆的位置关系
【考纲要求】
1.了解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系．
2.了解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系．
3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质．
4.掌握三角形内切圆的性质.
【考点总结】一、点、线与圆的位置关系
1. 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:
（1）点在圆外⇔d>r;
（2）点在圆上⇔d=r;
（3）点在圆内⇔d 2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交
位置
关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0
1
2
数量
关系
d>r
d=r
d 3.切线的性质与判定
（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 
4.*切线长定理
（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【技巧归纳】
技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法
类型一：点与圆的位置关系
定义法
1．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．2 C. (第1题)
2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么下列判断正确的是(　　)
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
比较法
3．⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
类型二：直线与圆的位置关系
交点个数法
4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相切　　 　　　　B．相交
C．相离　　 D．无法确定
距离比较法
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4 cm，以点C为圆心，4 cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．
(第5题)
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的取值范围．
(第6题)

技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型
类型一：应用于求线段的长
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，cos A＝，求DF的长．
(第1题)
类型二：应用于求三角函数值
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．
(第2题)
类型三：应用于求圆的半径
3．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
(第3题)
类型四：应用于求图形的面积
4．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积．
(第4题)
技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法
类型一：作半径，巧用同圆的半径相等
1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．

(第1题)
类型二：连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.

(第2题)
类型三：作直径，巧用直径所对的圆周角是直角
3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．

(第3题)
类型四：证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

(第4题)
类型五：遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．3 B．4 C．3 D．4
(第5题)
　　　　　(第6题)
6．如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2，OH＝1，则∠APB＝________.
类型六：遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
(第7题)
类型七：遇切线巧作过切点的半径
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
(第8题)
类型八：巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
(第9题)
【题型讲解】
【题型】一、判断点与圆的位置关系
例1、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
例2、已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【题型】二、三角形外接圆的相关计算
例3、有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）

A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
例4、过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【题型】三、确定圆的条件
例5、如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）

A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
例6、如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【题型】四、判断直线与圆的位置关系
例7、如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【题型】五、利用切线的性质定理进行计算
例8、如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
例9、如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
例10、如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）

A．65° B．60° C．58° D．50°
例11、如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（ ）

A． B． C． D．
例12、如图，分别与相切于两点，，则(　　　)

A． B． C． D．
【题型】六、切线性质与判定的综合
例13、如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

例14、如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．

（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【题型】七、利用切线长定理进行计算
例15、如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
例16、如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【题型】八、三角形内切圆的相关计算
例17、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
例18、如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（ ）

A． B． C． D．不确定
【题型】九、圆内接四边形的相关计算
例19、如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）

A． B． C． D．
例20、如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°
例21、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°
【题型】十、判断圆与圆的位置关系
例22、已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
例23、如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
与圆有关的位置关系（达标训练）
一、单选题
1．图，在平面直角坐标系中，以M（3，5）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则tan∠ACM的值是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（    ）

A．20° B．30° C．40° D．50°
3．如图，的内接四边形中，，则为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（    ）．

A．110° B．115° C．120° D．125°
5．如图，的直径与弦的夹角为25°，过点C的切线与的延长线交于P，则的度数为（    ）°．

A．25 B．30 C．35 D．40
6．下列说法正确的是（　　）
A．为调查全国人民对粮食的关注度，应采用全面调查
B．“三点确定一个圆”是必然事件
C．成语“水中捞月”是随机事件
D．随意掷一枚5角钱币，落地后每一面向上的机会一样

二、填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是______．


三、解答题
9．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．

10．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．

与圆有关的位置关系（提升测评）
一、单选题
1．如图，四边形内接于，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，， 分别与 相切于点 ，，过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，，若 ，则 的周长是（   ）

A． B． C． D．
3．如图，的内切圆与各边相切于，，，且，则是（     ）

A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，已知圆心角，则圆周角（     ）

A． B． C． D．
5．下列事件中，不是随机事件的是（    ）
A．函数中，当时，y随x的增大而减小
B．平分弦的直线垂直于弦
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．的半径为5，若点P在外，则
6．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（  ）

A． B． C． D．
7．如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（    ）

A． B． C． D．
8．如图，等边是的内接三角形，点D，E分别为边上的中点，延长交于点F，若，则（　  　）

A． B． C． D．

二、填空题
9．如图，是的直径，、为上的点，若，则______°．

10．如图， 是 的内接四边形， ，则 的度数是_____度．


三、解答题
11．如图，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
12．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．

(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．