备战高考2024年数学第一轮专题复习6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）（解析版）

6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）题组一 累加法1．（2022·湖北）在数列中，，则数列中最大项的数值为___．【答案】10【解析】当时，所以当时，数列{}中最大项的数值为10.故答案为：10.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.【答案】【解析】因为数列满足，，所以当时，.所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，故答案为：3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列满足：，，，则______．【答案】.【解析】因为，，所以当时，有，因此有：，即，当时，适合上式，所以，故答案为：.4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.求数列的通项公式 ；【答案】【解析】(1)因为，所有，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式5．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，求数列的通项公式 .【答案】【解析】根据题意，可得到，，，……将以上个式子累加可得，, ，，又 满足，所以6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为的数列的前项和为，且，则______．【答案】【解析】依题意，，则，故， ， ， ，…，，累加可得， ， ，当n=1时， 也成立，故，；故答案为： .题组二 累乘法1．（2022·浙江）已知数列满足，则数列的通项公式是______【答案】【解析】∵∴，即，∴，∴.n=1也适合故答案为：.2．（2022·上海）若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______.【答案】【解析】 数列中，，，，．故答案为：．3．（2022·江苏）已知数列的前项和为，且，（），则 【答案】B【解析】由题得（）所以（）由题得，所以（）.所以所以.所以.故选：B4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于 【答案】(n＋1)3【解析】当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减，得4an＝－，即，所以an＝,an＝＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)35．（2022·安徽）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.【答案】【解析】根据题意，数列中，，，①，②，①②可得：，变形可得：，则；时，符合；故答案为：．题组三 公式法1．（2022·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．【答案】【解析】当时，，当时，经检验当时不符合，所以，故答案为：，2．（2022·湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.【答案】【解析】由得：（且）（且）即（且）数列是第二项起公比为的等比数列，（且）又不满足上式，3．（2022·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．【答案】【解析】由得：，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；当时，；当时，；经检验：不满足；故答案为：.4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式 【答案】【解析】(1)∵，∴．当时，，∴，∴，∵，∴．∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，∴为等差数列，通项公式为．5．（2022·天津·静海一中）已知数列的前项和为，且,求的值，并证明：数列是一个常数列；【答案】，证明见解析【解析】(1)证明：因为，且．令，有，解得，由，有，两式相减有，化简整理得，又，，所以，所以数列是一个常数列．6．（2022·全国·单元测试）数列满足，．求的通项公式；【答案】【解析】由，当时，，两式相减得，则，因为，所以，所以，则，以上各式相乘得：，所以，当时，上式也成立，所以；7．（2022·四川）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．(1)求的值；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，得，即，解得：(舍或.(2)由，得，即或（舍）当时，．当时，．验证时上式成立，．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{}的前n项和为，且满足求、的值及数列{}的通项公式：【答案】；；【解析】因，取和得：，即，解得，由得：，数列是首项为，公差的等差数列，则，即，当时，，而满足上式，因此，，所以，数列{}的通项公式.9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)3(2)an＝2n＋1【解析】(1)由所给条件知，当n＝1时 ，整理得 ，由于 ，得 ；(2)由条件得 ，   ，①- ②得 ，整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，因为：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2）， 是首项为3，公差为2的等差数列，   ，故 .10．（2022·海南·模拟预测）设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；【答案】【解析】因为数列的前n项和为，，，当时，，两式相减可得，即，可得，即，当时，，所以，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式.题组四 构造等差数列1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，以此类推，对任意的，，由可得，所以，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，，因此，.故选：B.2．（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.【答案】【解析】由题设，，即，而，∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；【答案】．【解析】由，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.【答案】【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以所以故答案为：题组五 构造等比数列1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列满足，，则___________.【答案】【解析】由已知可得，设，则，所以，，可得，所以，，且，由题意可知，对任意的，，则，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，，因此，.故答案为：.3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.【答案】【解析】数列满足，整理得：，所以，又，故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以的前项和故答案为：4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，，则在上递增，所以，要使恒成立，则.故答案为：