备战高考2024年数学第一轮专题复习3.3 指数运算及指数函数（精练）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习3.3 指数运算及指数函数（精练）（提升版）（解析版），共26页。试卷主要包含了指数式比较大小，解指数式不等式，指数函数的定点等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·重庆市）=_____________.
【答案】110
【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，
，故填.
2．（2022·宁夏）计算：=_____________
【答案】4
【解析】 .
3．（2022·江西）已知，则_______________．
【答案】3
【解析】因为，所以，即，
所以，即，
所以，故答案为：3．
4．（2022·广东·节选）计算：
(1)
(2)；
(3)
（4）求值：
【答案】(1)（2）（3）625（4）
【解析】
(1)
（2）
（3）原式
.
（4）
题组二 单调性
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，其中，且，
因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，
所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，
且有，解得.综上可知，实数的取值范围是.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，C．D．，
【答案】D
【解析】对任意实数，，都有成立，
在定义域上是增函数，函数在，上是增函数，
在上也是增函数，且，，解可得，．故选：D.
3（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意在上是增函数，可得函数在上是增函数，
且在上也是增函数，且有.
故有，解得.故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可知，函数在上是增函数，则，解得.故选：B.
5．（2022·河北）若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是R上的单调递增函数， ，
解得:， 故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令
由于的值域是，所以的值域是
因此有，解得
这时，
由于的单调递减区间是，在R上递减；
所以的单调递增区间是答案：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知，，即；由得
只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即；
又函数在上单调递增，则需满足，综上，实数的取值范围是.故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，，，
所以，，
所以x=0不是的极值点，
因为在上单调，
所以，解得，
当，在上单调递增，
当，为开口向上的抛物线，所以在上单调递增，
所以在上为单调递增函数，
所以当时，为单调递增函数，
所以或，
所以或（舍）
解得满足题意.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）求函数的单调区间 .
【答案】增区间为[-2,+∞)，减区间为(-∞,-2).
【解析】设t＝>0，又y＝t2－8t＋17=（t-4）2+1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.
而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为 [-2,+∞)，减区间为(-∞,-2).
10（2022·全国·高三专题练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因函数在上单调递增，则有在上递增，
于是得，在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得，综上得：，所以的取值范围是.故答案为：
题组三 值域
1．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
2．（2022·陕西陕西）已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】①当时，二次函数的对称轴为直线，
此时函数在区间上单调递减，，
函数在区间上单调递减，，
欲使函数有最小值，需，解得：与矛盾.
②当时，函数的对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为，
函数在区间上单调递减，此时，，
欲使函数有最小值，需，解得与矛盾；
③当时，二次函数的对称轴为直线，
在区间上的最小值为，
在区间上单调递增，，
欲使函数有最小值，需，即，∴.
综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数在处取得最小值得，则且
当时，又，
所以，得．
又，所以，
即，整理得，，解得．
综上，.
故选：C．
4（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（为常数），函数的最小值为，则实数的取值可以是（ ）
A．-1B．2C．1D．0
【答案】CD
【解析】当时，单调递减，且当时，函数取得最小值为；
要使原分段函数有最小值为，
则当时，恒成立，
当时，满足；
当时，需，即．
综上，实数的取值范围为．
结合选项可得，实数的取值可以是1，0．
故选：CD．
5．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，，当时，，
因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：
6．（2022·北京）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为_____.
【答案】1
【解析】如果 ， ，其值域为 ，
，不符合题意；
如果 ，当 时， ，
就是把函数的部分 以x轴为对称轴翻折上去，
∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为 ，
所以 ，不妨取 ；
故答案为：1.
7．（2022·辽宁实验中学模拟预测）偶函数的值域为______．
【答案】
【解析】由题设，，故，
所以，当且仅当时等号成立，又，
所以的值域为.故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（，）的最大值为，则实数_________.
【答案】16
【解析】∵ 函数在上为减函数，又数（，）的最大值为，
∴ 的最小值为3，即的最小值为9，
又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
∴ ，∴
故答案为：16.
9．（2022·河南·郑州一中）已知（且），若有最小值，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①当时，
当，，单调递增，此时；
当，，单调递减；，，单调递增，
故时，的最小值为；
故若有最小值，则；
②当时，
当，，单调递减，此时；
当时，，单调递增，此时；
故若有最小值，则，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为:
10．（2022·江西·二模）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：
题组四 指数式比较大小
1．（2021·安徽函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，易知在上单调递增，
因为，，，
所以，所以，即.
故选：B.
2．（2022·江西鹰潭）设，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①先比较 ：，，设函数，
则，得函数在单调递减，得函数在单调递增 所以 即；
②再比较：由①知，
而 ， 设，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，而，
所以，
故选：A
3．（2022·天津河东·一模）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，
又，
所以，
即，
故选：B
4．（2022·广西）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意是定义域为R的偶函数，
，
，
，
，
，
，
，
由于在上单调递增，所以.
故选：D
5．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以；
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.综上，，故选：D.
6．（2022·江西·模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以；
又
构造，
则
因为， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，
设
则在R上递增，，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即，
应用排除法，
故选：B.
7．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
8（2022·全国·高三专题练习）若（），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
令，则在上单调递增，且，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
题组五 解指数式不等式
1．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数为偶函数，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，即，
∴，可知，，
当时，恒成立 且单调递增，恒成立 且单调递增，
∴在上单调递增，
∴的解集为．
2（2022·广东）（多选）若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数a的范围可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】令，
由题意得，不等式有且只有一个整数解，
当时，，即两个函数图象均过原点.
当时，函数图象如下所示，
原不等式的解集为，不只有一个整数解，不符合题意；
当时，设函数与的图象的交点为，
若在第一象限，则原不等式的解集为，如下所示，
要使解集中有且只有一个整数解，只需，
所以，即，解得.
若在第三象限，则原不等式的解集为，如下所示，
要使解集中有且只有一个整数解，只需，
所以，即，解得.故选：BD.
3．（2022·河南）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知，而，所以，
又，所以．
因为关于的不等式有实数解，
即有实数解，所以，即．
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以对于恒成立，
即，整理可得：，
因为，所以，
所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以不等式即不等式，
可得在上恒成立，
所以，
令，则
令，，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，
所以，即得，
所以整数m的最大值为，
故选：B
5．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，得，两边同除，
即，又，当且仅当，
即时取等号,所以，所以.故答案为：
6（2022·广东佛山·三模）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】定义在R上函数的图象关于原点对称，
则，解之得，经检验符合题意
均为R上增函数，则为R上增函数，
又，
则不等式等价于，解之得
故答案为：
7．（2022·浙江·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】可化为，
令，由，得，
则，
在上递减，当时取得最大值为，
所以．故答案为．
8．（2022·全国·高三专题练习（文））若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，
∴，故答案为．
题组六 指数函数的定点
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
【答案】
【解析】函数恒过点，则，区间变为，
由函数，令，则，
利用二次函数的单调性，当时，，则函数在上的最小值是.
故答案为：.
2．（2020·江西）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】由于函数是由函数(且)向左平移个单位,再向下平移
个单位得到,
所以函数(且)的图像经过定点，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为:.
3．（2021·广东函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】令，可得，此时，所以
因为点在直线上，则：，
所以，
当且仅当 即时等号成立.
综上可得：的最小值为.
故答案为：.