备战高考2024年数学第一轮专题复习3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）（解析版）

3.4 对数运算及对数函数（精讲）（提升版）

考点一 对数运算

【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简求值

（1）；

（2）；.

（3）；．

（4）.

【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.

【解析】（1）；

（2）；

（3）

；

（4）

【一隅三反】

（2022·全国·高三专题练习）化简求值：

（1）．

（2）；

（3）.

（4）

（5）．

【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.

【解析】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

．

考点二 对数函数的单调性

【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，函数定义域满足：，解得，

在上单调递减，

根据复合函数单调性知，在单调递减，函数对称轴为，

故，解得.故选：C.

【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，

因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，

综上：实数a的取值范围为，故选：B

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为____________．

【答案】

【解析】由得，所以函数的定义域为.

令，则，，开口向上，对称轴为，

所以在上递增，在定义域内单调递增，

所以)在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.

故答案为：.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（       ）

A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)

【答案】A

【解析】是增函数，在上递减，在递增，

因此在上递减，则有，解得．故选：A．

3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练习）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______

【答案】

【解析】由，在R上单调递增，

∴在上递增，在上也递增，

由增函数图象特征知：不能在点上方，综上， ，解得，

∴实数a的取值范围是.故答案为：.

4．（2022·河北）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围_____．

【答案】

【解析】令，因为外层函数为减函数，则内层函数在区间上是减函数，所以，，解得.故答案为：.

考点三 对数函数的值域（最值）

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（       ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【解析】由题意知的定义域为.

所以，，

，时等号成立．故选：A.

【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数的值域为，则的取值范围是(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，f(x)=，

当时，f(x)=，

故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C．

【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，

令的根为、且，，，

若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；

若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以的定义域为，

解得，所以该函数的定义域为；所以，

所以

，所以，

当时，，当时，，所以；所以函数的值域是．故选：B．

2．（2022·全国·高三专题练习）若函数且的值域为，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，，

当时，，

∵函数的值域为，∴，又，

∴，即，∴的取值范围为.故选：D．

3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；

当时，则，解得；

当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．

故选：A.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，又函数的值域为R，

则，解得．故选：C．

考点四 对数式比较大小

【例4-1】（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

因为，所以，所以.故选：B.

【例4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，则，

因为函数在上递增，所以函数在上递增，

所以，所以函数在上递增，

所以，即，即，

令，令，令，

则，所以函数在上递增，所以，

所以，故，即，所以，综上所述，.

故选：D.

【一隅三反】

1．（2022·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由可得，

因为在上单调递增，且，，所以，即，

其次，，所以，

又因为且单调递增，所以由可知，综上，．

故选：A

2．（2022·全国·模拟预测）定义在R上的函数满足，当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由知： 关于直线x=1对称.

当时，，

由复合函数的单调性知：在上单调递增.

又，

而，，，

所以.故选：D.

3．（2022·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（          ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题可知，故，∴函数为偶函数；

易知，当时，在为单调递增函数；又，∴，

同理，；又，

，故，故.

故选：A.

4．（2022·广东佛山·三模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】选项A：

由，可得，

则，，

则，则.判断错误；

选项B：由，可得为上减函数，

又，则.判断正确；

选项C：由，可知为R上减函数，又，则

由，可知为上增函数，又，则，则

又为上增函数，则，则.判断正确；

选项D：令，则，

，

则，即.判断错误.故选：BC

考点五 解对数式不等式

【例5-1】（2022·河南濮阳）已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.故选：C．

【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由得定义域为，

，故为偶函数，

而，在上单调递增，故在上单调递增，

则可化为，得解得故选：D

【一隅三反】

1．（2021·河南·高三阶段练习（理））设函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依题意，当时，由得：，解得，则，

当时，由得： ，即0<x-1≤2，解得，则，

所以不等式的解集为.故选：A

2．（2021·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知且

，

，

令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数，

函数与在上均单调递增，

与在上单调递增，

在上单调递增，即在上也单调递增且，

又为奇函数，在上单调递增，

不等式等价于，

，

在R上单调递增，

，

解得，

实数a的取值范围是，

故选：A.

3．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，则不等式的解集为（        ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，，，且在上递增，

当时，，，且在上递增，

所以在上有，且函数是上的增函数，

于是原不等式可化为，，，得

解得，故选：B

考点六 对数函数的定点

【例6】（2021·四川·德阳五中）若函数的图象经过定点，且点在角

的终边上，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对于函数，

令，解得，所以，所以函数恒过定点，

又点在角的终边上，所以，所以；故选：A

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，且角的终边经过，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，所以，所以，

.故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，函数（且）的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，代入直线的方程得，其中，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故选: D .

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等比数列，函数过定点，，数列的前项和为，则（       ）

A．44 B．45 C．46 D．50

【答案】B

【解析】函数过定点，，，等比数列的公比，

，，数列的前项和为，则，故选：B