备战高考2024年数学第一轮专题复习5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）（原卷版）

5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）

考点一 判断三角形的形状

【例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（       ）

A．若，则是锐角三角形

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是等腰三角形

D．若，则是等边三角形

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（       ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

2．（2022·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（       ）．

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

3．（2022·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（       ）．

A．若，则是等边三角形

B．若，则是等边三角形

C．若，则是等边三角形

D．若，则是等边三角形

考点二 最值问题

【例2-1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【例2-2】（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.

【例2-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.

4．（2022·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.

(1)求边AC的长；

(2)求四边形ABCD周长的最大值.

5．（2022·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.

(1)求角B的大小；

(2)若，求的取值范围.

考点三 三角形解的个数

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（       ）

A．无解 B．一解

C．两解 D．解的个数不确定

【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知

，使得三角形有两解的条件是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（       ）

A．                  B．

C．                  D．

考点四 几何中的正余弦定理

【例4】（2022·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.

【一隅三反】

1．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；

(2)若，，，求∠ACB的值．

2．（2022·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，

求：

(1)的值；

(2)边的长.

3．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求的正弦值；

(2)求的余弦值．

考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用

【例5】（2022·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2021·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；

④ 其中正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（     ）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

3．（2022·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）

A．0 B．1 C．3 D．5

4．（2022·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（       ）

A． B． C． D．

考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用

【例6-1】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（       ）

A．2 B． C． D．

【例6-2】（2022·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．

【一隅三反】

1．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M

为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（       ）

A． B． C． D．2

2．（2022·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．