备战高考2024年数学第一轮专题复习4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）（解析版）

4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）

考点一 单调区间（无参）

【例1-1】（2022·新疆）函数的减区间是____________.

【答案】

【解析】由可得所以由可得所以函数的减区间是故答案为：

【例1-2】（2022·广东·顺德一中）设曲线在上的单调递减区间是______.

【答案】

【解析】因为，所以，

令，则，解得或.

当时，所以函数的单调递减区间为.故答案为： .

【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（       ）

A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)

【答案】A

【解析】由题设，则，可得，

而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A

【一隅三反】

1．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　　)

A．(0,1)   B．(－∞，1)

C．(－∞，0)   D．(0，＋∞)

【答案】　C

【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.

当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．

2．（皖豫名校联盟体2022届）函数的单调递减区间为__________．

【答案】

【解析】当时，，则其在上递减，

当时，，则，

当时，，所以在上递减，

综上，的单调递减区间为，故答案为：

3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为        ．

【答案】　，

【解析】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当0<x<时，f′(x)>0，

当<x<时，f′(x)<0，当<x<π时，f′(x)>0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．

考点二 已知单调性求参数

【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于函数，导数.

要使函数在区间上单调递减，只需恒成立.

因为，只需，只需恒成立.

记，只需.

.

因为，所以.

由在上单减，在上单增，且时，，时，.

所以在上的最大值为，所以在的最大值为1.

所以.故选：B

【例2-2】（2022.广东）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴

∵函数在区间上不是单调函数

∴在区间上有根

∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．

【一隅三反】

1．（2022福建省）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，

令，要满足①，或②，

由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D

2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（            ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，

因为是R上的减函数，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

由于，所以．故选：B.

3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，

即，令，，则恒成立，

所以在上单调递增，所以，所以.故选：A

4．（2022·宁夏吴忠）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数，可得，

因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，

则满足，解得或，即实数的取值范围是.故选：C.

考点三 单调性的应用之解不等式

【例3】（湖南省多所学校2022届）已知，则的解集是（       ）

A．  B．或

C．或  D．或

【答案】B

【解析】当时，，在恒成立，

∴在单调递增，且，∴当时，，

，是偶函数，∴的解集是或，

故选：B.

【一隅三反】

1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】的定义域为，

因为，所以在上单调递减，

所以不等式等价于，解得或，

所以不等式的解集为.故选：D

2．（湖北省2022届）已知函数，不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，所以在上单调递减，

则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.

3．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为        ．

【答案】　(1,2]

【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋ex－cos x.

∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1,2]．

4．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为        ．

【答案】　

【解析】f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．

则原不等式可变形为f(ln x)<f(1)⇔f(|ln x|)<f(1)．又f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，

由2＋cos x>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x|<1⇔－1<ln x<1⇔<x<e.

考点四 单调性应用之比较大小

【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，，得，，，

构造函数，求导得，令，得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

因为，所以，所以，

又因为，在上单调递减，所以.故选：A．

【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A，设，则，

则当时，，在上单调递减，，

即，即，，则，A错误；

对于B，，，，则，B正确；

对于C，，，，，C错误；

对于D，，D错误.故选：B.

【一隅三反】

1．（2022年全国新高考I卷数学试题）设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以故选：C.

2．（山东省青州市2022届）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设,则,

当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

故当时,函数取得最大值,

因为,,

,当时,,函数单调递减,可得,即.故选:C

3．（江西省萍乡市2022届）设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，，

，可以判断在上单调递增，

所以，，

所以，又因为，，

所以，即，所以，故选：D.

4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，设，易知当时，递减；

，即为；，即为，所以，即；

，即，故A错，故D错；

，即，故B错；

构造函数，所以恒成立，

所以在单调递增，所以，即，所以；

故选：C.

考点五 含参函数的单调性讨论

【例5-1】（2022广西节选）已知函数，讨论的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】的定义域为

当时，在上恒成立，故在上单调递减

当时，，且时，，时，

即在上单调递增，在上单调递减

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减

【例5-2】（2022安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），

当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，令，解得：

∴当时，；当时，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.

【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数，讨论的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】函数的定义域为．

．

当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．

当时在单调递增．

当时，，若或，则；若，则．

所以在区间单调递增，在区间单调递减．

当时，，若或，则；若，则．

所以在单调递增，在单调递减．

综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．

时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．

【例5-4】（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】函数的定义域为，.

当时，对任意的，，此时函数的减区间为；

当时，方程在时的解为，

由可得，由可得，

此时，函数的减区间为，增区间为.

综上所述，当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，增区间为.

【一隅三反】

1．（2022贵州省贵阳市五校）已知，函数，讨论的单调性；

【答案】时， 在递增；时，的增区间是，减区间是．

【解析】的定义域是，，

时，恒成立，在递增，

时，时，，时，，

的增区间是，减区间是．

综上：时，在递增；

时，的增区间是，减区间是．

2．（2022陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；

【答案】答案解析

【解析】因为，所以．

①当时，恒成立，在上单调递增；

②当时，时，；时，；

故在和上单调递增，在上单调递减．

3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知

，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】，

①当时，，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减；

当时，令，则或，

②当，即时，，

所以函数在上递增；

③当，即时，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减；

④当，即时，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

综上所述，当时，函数在上递增，在上递减；

当时，函数在上递增；

当时，函数在和上递增，在上递减；

当时，函数在和上递增，在上递减；

4．（2022江苏省）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；

【答案】答案见解析

【解析】由得，函数的定义域为，

且，令，即，

①当，即时，恒成立，在单调递增；

②当，即时，令，

当时，，的解或，

故在上单调递增，在上单调递减；

当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．