备战高考2024年数学第一轮专题复习4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）（原卷版）

4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）

考点一 零点的个数

【例1】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.

(1)当时，求函数的极值点；

(2)当时，试讨论函数的零点个数.

【一隅三反】

1．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数．

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)判断函数的零点个数，并说明理由.

2．（2022·北京四中三模）已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数.

3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，设，求证：在上只有1个零点

考点二 已知零点个数求参

【例2】（2022·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【一隅三反】

1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知函数．

(1)若，讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求实数a的取值范围．

2（2022·全国·高考真题（理））已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b的值.

考点三 不等式恒（能）成立

【例3】（2022·天津市）已知函数，（），其中e是自然对数的底数.

(1)当时，

（ⅰ）求在点处的切线方程；

（ⅱ）求的最小值；

(2)讨论函数的零点个数；

(3)若存在，使得成立，求a的取值范围

【一隅三反】

1．（2022·河南安阳）已知函数．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.

3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数．

(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

考点四 证明不等式

【例4】（2022·四川省）己知函数（其中e为自然对数的底数，…）．

(1)若恒成立，求实数a的值；

(2)若，求证：．

【一隅三反】

1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．

(1)若，求在处的切线方程；

(2)若的两个零点分别为，证明：．

2．（2022·河南·高三阶段练习）已知函数.

(1)求的最小值；

(2)证明：.

3．（2022·河南）已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若，证明：.

4．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．