备战高考2024年数学第一轮专题复习8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）（解析版），共30页。试卷主要包含了与数列综合，与函数结合，与导数综合，与其他知识综合运用等内容，欢迎下载使用。

8.6 分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）
考点呈现



例题剖析

考点一 与数列综合
【例1】（2022·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；故选：AC．
【一隅三反】
1．（2022·广东·高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关
(2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大
【解析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）
（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．
（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列．
则，
∴，，
，故第19次触球者是甲的概率大
2．（2022·四川绵阳·三模（文））随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用车年销售y（万辆）
50
78
126
121
137
352

(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；
(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设，其中．






144
4.78
841
5.70
380
528

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)越大，模型的拟合效果越好，用模型得到的预测值更可靠
【解析】(1)   
     

关于的线性回归方程为 .
(2)若利用线性回归模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为（万辆）
若利用模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 （万辆）
(3)
,且越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好,
用模型得到的预测值更可靠.

3．（2022·重庆·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

1
2
3
4
5

232
98
60
40
20

求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)回归方程为，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
【解析】(1)由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以的分布列为：

1
2
3




所以数学期望为.
(2)令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
(3)
由题知，在前轮就成功的概率为

又因为在前轮没有成功的概率为



，
故.

考点二 与函数结合
【例2】（2022·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值





频数
16
30
40
10
4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k





利润y



t

假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
【一隅三反】
1．（2021高三上·威海期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是 ，
根据对立事件可得，阳性的概率为
（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为 ，则 的可能取值为
，其分布列为:

1
7



则 ，
方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为 ，若阳性，则检测次数,4，概率为 ，
方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 ，
;
其分布列为:

2
5
8




则 ，
，
当 或 时，可得 ，所以方案一更“优”
当 或 时，可得 ，所以方案一、二一样“优”
当 时，可得 ，所以方案二更“优”.
2．（2022·临沂模拟）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据；．
②对于一组数据，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2，a=ω−bv
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】见解析
【解析】（1）解：散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为ω=bv+a
由v=16i=16vi=4.1，ω=16i=16ωi=3.05，则b=i=1nviωi−nvωi=1nvi2−nv2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=12a=ω−bv=3.05−12×4.1=1
变量关于的回归方程为

综上，y关于x的回归方程为
（2）解：由，解得，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为

的分布列为：


1
2
3
P




3．（2022·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
【答案】见解析
【解析】（1）解：从 出发4步以内到达 且不出棋盘的走法共有8种，其中 种为：

另外4种与以上4种关于直线 对称.
对于以上4种，记第 种路线的概率为 ，则：
， ，
， .
因此总概率为 .
（2）解：设马有 步从 走到 ， 步走到 .
则 ，解得 .
即马共走了 步，总路径数为
路径上经过的点可能在线段上的有 ，共5个.
因此 .
因此 ， ，
， ，
.
所以马停留在线段 上次数 的分布列为：

1
2
3
4
5






因此 的数学期望 .
考点三 与导数综合
【例3】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
【解析】（1）设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
【一隅三反】
1．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，

随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
2．（2022·湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：

，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：
.
（2）解：①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
3．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，

随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
考点四 与其他知识综合运用
【例4】（2022·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由分布图：

则，在内为优品
则
（2）解：①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
【一隅三反】
1．（2022·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为，采取“20合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，
因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；
只需考虑其中某位感染者所在的小组，
原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为；
（2）解：若2个感染者分在同一组，则
，，
，，
若2个感染者分在不同小组，则
，，
，，
，，
令，
则，
即，
抛物线的对称轴为，
取得，取得，故，
综上，当时，采取“20合1检测法”更适宜.
2．（2022·邵阳模拟）某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，，，分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）
（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题可得，
所以.
队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为.
（2）解：X可能的取值为0，50，80，100.
，，
，
X的分布列为

X
0
60
80
100
P
0.01
0.22
0.44
0.33

3．（2021·洛阳模拟）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在内，其中（，且n为偶数）的销售天数为；（，且n为奇数）的销售天数为．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于，，分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为每天的销售量x（单位：件）分布在内，
其中（，且n为偶数）的销售天数为；
（，且n为奇数）的销售天数为．
所以当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
当时的销售天数为，
所以
解得
（2）解：因为，
所以当时的销售天数为，当时的销售天数为，当时的销售天数为，
若在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，
则这8天中有2天的销售量属于，有3天的销售量属于，有3天的销售量属于，
所以的取值为1，2，3，



所以随机变量X的分布列为：

1
2
3