备战高考2024年数学第一轮专题复习9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）（解析版）

9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）

考点一  直线的倾斜角与斜率

【例1-1】直线的倾斜角为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知得， 故直线斜率由于倾斜的范围是，则倾斜角为.

故答案为：B.

【例1-2】已知，且三点共线，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

因为三点共线，所以，即，解得，

所以。故答案为：A.

【例1-3】直线与的夹角为　     　．

【答案】

【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，

直线的斜率，即倾斜角满足，

所以，所以，

又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.

【一隅三反】

1.（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（          ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；

故选：C

2．（2022·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（       ）

A． B．1 C． D．－1

【答案】A

【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.

故选：A

3．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.

故选：A.

4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，

则当时，，即，当时，，即，

所以直线的斜率k的取值范围是.故选：D

考点二 直线的位置关系

【例2-1】若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.

反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.

ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.

【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得，解得，故故答案为：D

【一隅三反】

1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】依题意，，解得或，

所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故答案为：A

2．（2022广东）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（　　） 

A．若 ，则  B．若 ，则

C．直线 过定点  D．直线 过定点

【答案】BCD

【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直线平行，所以该选项错误；

B. 若 ，则 ，所以该选项正确；

C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点 ，所以该选项正确；

D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以该选项正确.故答案为：BCD

3．若方程组无解，则实数　     　．

【答案】±2

【解析】因为方程组无解， 所以两直线平行，可得 .

考点三 直线与圆的位置关系

【例3-1】（2022浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（　　）

A． B． C．-1 D．1

【答案】C

【解析】直线过定点， 圆的圆心为，半径，

当时，圆截直线所得的弦长最短，

由于，所以，即.故答案为：C

【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图：圆心为，经过原点，

可得

则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为

延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，

当圆心在C处时，点到直线的距离最大为

此时，圆上点D到直线的距离最大为

故答案为：B

【一隅三反】

1（2022江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设直线的倾斜角为，圆心到直线l的距离为，当直线l的斜率不存在时，易得，此时，符合题意，；

当直线l的斜率存在时，设直线，即，此时，解得或，即或；综上可得.故答案为：C.

2．（2022江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为　     　.

【答案】

【解析】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得. 故答案为：

3．（2022江苏）若直线与圆相切，则实数　     　．

【答案】25

【解析】直线与圆相切，

圆心到直线的距离

平方可得，解得

故答案为：25

4．（2022湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】到点 的距离为2的点在圆 上，

所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上，

即两圆相交，故 ，所以 或 .故选：A.

考点四 圆与圆的位置关系

【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为　     　．

【答案】

【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，解得.故答案为：.

【例4-2】（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为　     　．

【答案】

【解析】两圆方程相减得，即，

原点到此直线距离为，圆半径为，

所以所求公共弦长为．故答案为：．

【例4-3】（2022南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（　　）

A．4条 B．2条 C．1条 D．0条

【答案】B

【解析】由，得圆，半径为，

由，得，半径为

所以，

，，

所以，所以圆与圆相交，

所以圆与圆有两条公共的切线。故答案为：B.

【一隅三反】

1．（2022汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（　　）

A．外离 B．相切 C．相交 D．内含

【答案】C

【解析】方程可化为，得，，

方程可化为，得，，，

，故两圆相交。故答案为：C.

2．（2022·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，

所以是圆与圆内切的充分不必要条件.故答案为：A

3．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则　     　．

【答案】

【解析】将和两式相减：

得过两点的直线方程： ，则圆心到的距离为，

所以 ，故答案为：

4．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（　　）

A．若圆与x轴相切，则

B．若，则圆与圆相离

C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为

D．直线与圆始终有两个交点

【答案】BD

【解析】因为圆，

所以若圆与x轴相切，则有，A不符合题意；

当时，，两圆相离，B符合题意；

由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，

C不符合题意；

直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，D符合题意.

故答案为：BD
考点五 切线与切线长

【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】由圆心为，半径为，

斜率存在时，设切线为，则，可得，

所以，即，

斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故答案为：C

【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】由圆，可得，

∴圆心，又圆关于直线对称，

∴，即，

由点向圆所作的切线长为：

，

即切线长最小值为4.故答案为：C.

【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（　　）

A．线段的长度大于

B．线段的长度小于

C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为

D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为

【答案】A,D

【解析】如图示： ，

根据直角三角形的等面积方法可得， ，

由于，故，

由于，A符合题意，B不符合题意；

当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，

故设AP方程为 ，

则有 ，即 ，

即 或 ，

设原点到直线的距离为d，则 ，

当时， ；当时，，C不符合题意；

当直线平分圆的周长时，即直线过点，

AP斜率存在，设直线方程为，即 ，

则 ，即，

故原点到直线的距离为，则 ，D符合题意；

故答案为：：AD

【一隅三反】

1．（2022·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为　     　．

【答案】2

【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，

如图，

设，，切线长．

故答案为：2

2．（2022·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以

的最小值为. 故答案为：B.

3.（2022·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，，半径，圆心，

所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故答案为：C.

考点六 对称问题

【例6-1】（2022广东）如果 关于直线l的对称点为 ，则直线l的方程是(　　)  

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为已知点 关于直线l的对称点为 ，

故直线l为线段 的中垂线，

求得 的中点坐标为 ，

的斜率为 ，故直线l的斜率为-3，

 故直线l的方程为 ，即 。

故答案为：A.

【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（　　）  

A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0

【答案】A

【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则

， ∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上，

∴2a+b-1=0，∴2（2-x）-y-1=0，∴2x+y-3=0，故答案为：A。

【例6-3】（2022海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（　　） 

A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0

【答案】B

【解析】设对称直线方程为 ， ，解得 或 （舍去），

所以所求直线方程为 。故答案为：B

【一隅三反】

1．（2022河北）已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立 ，解得 ，

所以直线 与直线 的交点为 ，

所以点 在直线 上，

所以可设直线 即 ，

在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，

所以 ，解得 或 （舍去）.

所以直线 的斜率为 .

故答案为：D.

2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为 (　　)

A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0

【答案】C

【解析】直线l：x﹣y+1=0即y=x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣1，

∴要求的直线方程为：y=﹣x﹣1，即x+y+1=0．故答案为：C．

3.已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（　　）  

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题知直线 与直线 交于点 ，且点 在 上，

设点 关于 对称的点的坐标为 ，则 解得

则直线 的方程为 ，即 关于 对称的直线方程为 ．

故答案为：D