备战高考2024年数学第一轮专题复习9.4 抛物线（精讲）（提升版）（解析版）

9.4 抛物线（精讲）（提升版）

考点一 抛物线定义及应用

【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（       ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题意，抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，

可得，解得故选：D.

【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（       ）

A． 3        B． 2        C． 1        D．

【答案】A

【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，

连接，则，又，所以是正三角形，

∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A

【一隅三反】

1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，

如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.

，则．

故选：B．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．

【答案】A

【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．

记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．

故选：A.

3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1，则=（       ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【解析】由题可知抛物线的准线方程为，所以，即，所以，∴ ，所以.

故选：D.

考点二 直线与抛物线的位置关系

【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，

代入抛物线方程，消去并整理，得．

当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；

当时，，

解得或．综上，，故选：A．

【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.

【答案】

【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.

设，直线方程为，

代入抛物线方程消去，得，

所以.

又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，

设，可得，

因为，

所以，

得到，所以.

因为，所以，解之得，

所以，直线方程为，即.

故答案为：.

【一隅三反】

1．（2022·云南）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

所以直线不与轴重合，易知抛物线的焦点为，

设直线的方程为，联立可得，

，则，

所以，，解得.

故满足条件的直线有且只有一条．

故选：B．

2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________．

【答案】

【解析】设切线方程为：，分别联立方程得到和，

得和，

得和，

解得和，解得或，

所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为：

故答案为：

3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B

两点，则三角形PAB的面积为（    ）

A． B．3 C．27 D．

【答案】A

【解析】抛物线，即，故，

设两点的坐标为，则有，整理得，

同理

故直线的方程为，

由得，

故，

因为点到直线的距离为，

故三角形的面积为故选：.

考点三 弦长

【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ）

A． B．8 C．12 D．

【答案】B

【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，

代入抛物线方程得，可得，

根据抛物线的定义可知直线AB的长为．

故选：B．

【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，

所以．故选：C．

【一隅三反】

1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．

【答案】

【解析】如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，

过点作的垂线，垂足为，

设，易得，则，

由抛物线的性质可得，，

所以，，解得，故．

故答案为：

2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.

故选：D.

3（2021·福建高三月考）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．

【答案】

【解析】如图，抛物线的焦点为，准线为，

分别过，作准线的垂线，垂足为，，

则有．

过的中点作准线的垂线，垂足为，

则为直角梯形中位线，

则，即，解得.

所以的横坐标为．故答案为：．

考点四 综合运用

【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（       ）

A． B．抛物线的方程为

C．直线的方程为 D．

【答案】ACD

【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确

故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．

又是的中点，则，所以，

即，所以直线的方程为．故C正确

由，

得．故D正确故选：ACD．

【一隅三反】

1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则（       ）

A． B．是等边三角形

C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为

【答案】BC

【解析】根据题意，作出示意图,

因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交于B，D两点，∠ABD＝90°，

由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，

所以是等边三角形，故B正确；

所以∠FBD＝30°.

因为的面积为|BF|2＝9，

所以|BF|＝6.故A错误；

又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；

则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.

故选：BC.

2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，

分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．若，则直线的斜率为

C．若为坐标原点，则三点共线

D．

【答案】ACD

【解析】若直线的倾斜角为，则，

令，由消可得，

所以，故正确；

设1，令，由，

消可得

，，所以，

所以，

所以或

所以.即，故错误；

设，令，，

消可得

，

所以，即三点共线，故C正确；

设，令，由

消可得

，，

所以，

即，故正确.

故选：ACD.

3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学 ）（多选）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若为抛物线上的动点，，则

D．若为抛物线上的点，则

【答案】ABC

【解析】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：

3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；

所以|PQ|=64，选项A正确；

因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），

所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，

选项B正确；

如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，

所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，

|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；

对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，

所以，选项D错误.

故选：ABC.