备战高考2024年数学第一轮专题复习9.4 抛物线(精讲)(提升版)(原卷版)
展开9.4 抛物线(精讲)(提升版)
考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】(2022·广西梧州)已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A.4 B.3 C. D.
【例1-2】(江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题) 在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,过点作,交准线于点,若直线的倾斜角为,则点的纵坐标为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【一隅三反】
1.(2022·云南民族大学附属中学模拟预测(理))已知点为抛物线上的动点,设点到的距离为,到直线的距离为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
2.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线焦点的坐标为,P为抛物线上的任意一点,,则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.
3.(2021·江西南昌·高三阶段练习)若抛物线上的点到焦点的距离比到直线的距离小1,则=( )
A. B. C.6 D.
考点二 直线与抛物线的位置关系
【例2-1】(2022·广东)已知抛物线的方程为,若过点的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【例2-2】(2022·肥城市)设抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过的中点作轴的垂线与抛物线交于点,若,则直线的方程为___________.
【一隅三反】
1.(2022·云南)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点,若,则这样的直线的条数为( )
A. B. C. D.
2(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知圆的方程为,抛物线的方程为,则两曲线的公共切线的其中一条方程为_____________.
3.(2022·广东高三开学考试)过点的两条直线与抛物线C:分别相切于A,B两点,则三角形PAB的面积为( )
A. B.3 C.27 D.
考点三 弦长
【例3-1】(2022·全国·高三专题练习)设F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,则( )
A. B.8 C.12 D.
【例3-2】(2022·广东·高三阶段练习)已知抛物线的焦点为F,点A,B是抛物线C上不同两点,且A,B中点的横坐标为2,则( )
A.4 B.5 C.6 D.8
【一隅三反】
1.(2022·河南·高三开学考试(文))已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与交于两点(点在第一象限),若,则______.
2.(2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试)已知为抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点,若,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3(2021·福建高三月考)过抛物线:的焦点的直线交于,两点,若,则线段中点的横坐标为______.
考点四 综合运用
【例4】(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线过点且与抛物线交于,两点,若是线段的中点,则( )
A. B.抛物线的方程为
C.直线的方程为 D.
【一隅三反】
1.(2022·广东江门)(多选)设抛物线:的焦点为,准线为,为上一点,以为圆心,为半径的圆交于,两点,若,且的面积为,则( )
A. B.是等边三角形
C.点到准线的距离为3 D.抛物线的方程为
2.(2022·辽宁朝阳)已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与交于两点,分别为在上的射影,则下列结论正确的是( )
A.若直线的倾斜角为,则
B.若,则直线的斜率为
C.若为坐标原点,则三点共线
D.
3.(2022·海南·琼海市嘉积第二中学 )(多选)已知直线过抛物线的焦点,且斜率为,与抛物线交于两点(在第一象限),以为直径的圆分别与轴相切于两点,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若为抛物线上的动点,,则
D.若为抛物线上的点,则
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