备战高考2024年数学第一轮专题复习9.4 抛物线（精练）（提升版）（解析版）

9.4 抛物线（精练）（提升版）

1．（2022·广西贵港）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.

2．（2022·全国·课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．

【答案】        

【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．

故答案为：；．

3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．

【答案】

【解析】圆的圆心为，半径，

抛物线的焦点，

因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，

所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，

连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，

即，

所以的最小值为，

故答案为：

4．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.

【答案】3

【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，

则

,当A,F,C三点共线时取等号，

而，故的最小值为，

故答案为：3

5．（2022·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．

【答案】

【解析】抛物线的焦点，准线方程为．

过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，

由抛物线的定义可得，

则，

当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，

因此，的最小值为.

故答案为：.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，

为平面内一定点，则的最小值为__________．

【答案】5

【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，

当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.

1．（2022·安徽·高三开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（       ）

A． B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】因为焦点，设，令，

由，消可得

，，所以，

所以所以，解得：

所以的斜率为，则的倾斜角或

故选：D.

2．（2022·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示：

设直线方程为：，，联立方程得，有.

，，，

故中点，即圆心C的坐标为

直径.

因为以为直径的圆经过，故有，

即，

化简得：，故直线方程为：，当时，，

即直线经过定点.

故选：D

3．（2022·全国·课时练习）已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，

当时，，易知直线过点，且与抛物线只有一个公共点，符合题意．

当时，联立，可得，．当时，，解得或，此时直线l的方程为或，即或，

易知直线和直线都过点，且与抛物线都只有一个公共点，符合题意．

故直线l的方程可以是或或．

故答案为：（答案不唯一）

4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【解析】设直线的方程为，

且直线与抛物线交于，，联立，

可得，所以，

所以，取等号时，

所以抛物线过焦点的弦长最短为，

又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，

所以，所以，取，此时抛物线方程为．

故答案为：（答案不唯一，满足即可）

5．（2022·山东）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．

【答案】或或

【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．

当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；

当时，设直线l的方程为，由，得，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，

所以，解得或，

所以直线l的方程为或，

即或．

综上，直线l的方程为或或．

1．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.

【答案】4

【解析】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，则，

因为且，

所以，即，

所以，可得，因为，所以.

故答案为：.

2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，

B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.

【答案】8

【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，

设的方程为，，

则由得，

，，

又，所以，即，，

所以．

故答案为：8．

3．（2022·海南 ）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______

【答案】

【解析】由抛物线可得，设直线的方程为，

由 ，可得，

设，，则，

所以，

则线段的中点坐标，

到直线的距离为，

则点，到直线的距离之和，

所以当时，取最小值，

此时，

故答案为：.

4（2022·长宁区 ）已知直线与抛物线交于，两点，则______．

【答案】16

【解析】联立，得：，即，

设，，则，，

所以.故答案为：16.

1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】设，由得，所以，所以，

又点在直线l上，所以，所以A正确，B错误；

对于C，因为直线l经过抛物线的焦点，所以，所以C正确；

对于D，因为，所以

，所以，所以D错误，

故选:AC．

2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若在以为直径的圆上，则

D．若直线与与拋物线都相切，则

【答案】ACD

【解析】设方程为，由得，，

，，

A．由得得，所以直线过点，A正确；

B．，

由，当时，，，B错误；

C．，，，

，即，所以，，，C正确；

D．设（或）方程为，

由上面推理过程得，，

代入得，，

不妨设，，则，所以直线过点，D正确．

故选：ACD．

3．（2022·全国·单元测试）（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（       ）

A． B．为线段的中点

C． D．

【答案】AB

【解析】易知，由题意可得直线的方程为．

由，消去并整理，得，

解得，．

由，得，

∴．

过点作垂直准线于点，易知，

∴，∴．.

∵，∴为线段的中点．

故选：AB．

4．（2022福建）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（       ）

A．以线段为直径的圆与直线相切

B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时，

D．的最小值为6

【答案】ACD

【解析】由抛物线方程知，准线方程为，由题意可知，直线的斜率存在，

可设：，设，．

对于选项A，易知，∵为的中点，

∴点到准线的距离，

∴以线段为直径的圆与直线相切，A正确；

对于B，由，得，

，，，

∴，∴，

设的中点为，则，，

∵不恒成立，∴以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误；

对于C，若，则，不妨设，，∵，∴，，则，，∴，C正确；

对于D，∵，∴当时，，D正确．

故选:ACD．

5．（2022·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（       ）

A． B．点在直线上

C．为直角三角形 D．面积的最小值为16

【答案】BCD

【解析】由题可知，抛物线的焦点，

显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，

联立，消去并整理得，

，，

由得，，，

故切线的方程为：①

故切线的方程为：②

联立①②得

，

对于A，，，不正确，故A不正确；

对于B，，显然点在直线上，故B正确；

对于C，，，，，

将，，且，，代入上式化简得：

，，为直角三角形，故C正确；

对于D，到直线的距离为：，

，

，当时，，故D正确.

故选：BCD

6．（2022·全国·）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点

且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（       ）

A． B．抛物线的方程为

C．直线的方程为 D．

【答案】ACD

【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确

故抛物线的方程为，焦点，故B错误

则，．

又是的中点，则，所以，

即，所以直线的方程为．故C正确

由，

得．故D正确

故选：ACD．

7．（2022·湖南·高三开学考试）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（       ）

A．直线过焦点时，最小值为4

B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），

C．若中点的横坐标为3，则最大值为8

D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：

【答案】ACD

【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；

对于B选项，由题意，作图如下：

则，轴，轴，即，，

，，即，，

，，，

，故错误；

对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；

对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.

故选：ACD.

8．（2022·湖南）（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（       ）

A．抛物线的方程为 B．线段的长度为

C． D．线段的中点到轴的距离为

【答案】BD

【解析】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，

又经过的焦点，故，可得，

即抛物线方程为：，A正确．

由，可得，解得或，

可得，，所以，B错误．

由以上分析可知，，，，

可得，

则，即，C正确．

因为，，故线段的中点为，

则线段的中点到轴的距离为，D错误，

故选：BD．

9．（2022·河北）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切

C．若，则 D．

【答案】ABD

【解析】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．

对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，

点到直线的距离为，

所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；

对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．

又的坐标为，所以，故C错误．

对于D，连接，则由，

得，又轴，所以，

同理，

所以，

所以，所以，所以D正确.

故选：ABD.