备战高考2024年数学第一轮专题复习9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）（解析版）

9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）

1．（2022·成都模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆

于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．  

（1）求点S的轨迹方程C；

（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标

3．（2022·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

1（2022·河东模拟）椭圆C：的离心率，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．

2．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

3．（2022·西安模拟）已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.

（1）求椭圆S的标准方程；

（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

4．（2022·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．

（1）求抛物线C的方程

（2）求直线的斜率的取值范围；

（3）设为原点，，，求证：为定值．

1．（2022·浙江模拟）如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.

2．（2022·南充模拟）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．

（1）若，求直线l的方程；

（2）求三角形PAB面积S的最小值．

1．（2022·宜宾模拟）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．

2．（2022·和平模拟）已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与

（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

3．（2022·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．

4．（2022·聊城模拟）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.

5．（2022·河南模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．

（1）求C的方程；

（2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．