备战高考2024年数学第一轮专题复习8.2 二项式定理（精练）（提升版）（解析版）

8.2 二项式定理（精练）（提升版）

1．（2022·贵阳模拟）若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【解析】易得的通项，又展开式中存在常数项则有解，即，故正整数n的最小值是5，此时故答案为：A

2．（2023·四川省）的二项展开式中含项的系数为（    ）

A．240 B．16 C．160 D．60

【答案】D

【解析】展开式的通项为，

令，所以含项的系数为，故选：D.

3．（2022·江苏省）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，

即，因为是等差数列，所以．故选：D．

4．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（    ）项

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】因为展开式的通项为，

因为为整数且，所以可取，所以有理项一共有项，故选：C.

5（2022广东）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（    ）

A．11 B．10 C．9 D．

【答案】C

【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，

由题意知，所以，即，所以，故选：C.

6（2022·周至模拟）在展开式中，下列说法错误的是（　　）

A．常数项为-160 B．第5项的系数最大

C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1

【答案】B

【解析】展开式的通项为，

由，得，所以常数项为，A符合题意；

由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，

由，可知第3项的系数最大，B不符合题意；

展开式共有项，所以第项二项式系数最大，C符合题意；

令，得，所有项的系数和为1，D符合题意；

故答案为：B.

7．（2022·扬州模拟）（多选）已知，则下列说法中正确的有（　　）

A．的展开式中的常数项为84

B．的展开式中不含的项

C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等

D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

【答案】A,C

【解析】因为展开式的通项公式，所以

当，A符合题意；

当时，，B不符合题意；

的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C符合题意；

根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D不符合题意.

故答案为：AC.

8．（2022·茂名模拟）（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（　　）

A．所有奇数项的二项式系数和为

B．所有项的系数和为

C．二项式系数最大的项为第6项或第7项

D．有理项共5项

【答案】B,D

【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，A不符合题意，

令，得所有项的系数和为，B符合题意，

由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，C不符合题意，

因为展开式通项为，

当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，D符合题意．

故答案为：BD．

9．（2022·西安模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为　     　.

【答案】±2

【解析】因为＝ ，  令，得，

所以，即，解得. 故答案为：±2.

10．（2022·南开模拟）在的展开式中，的系数是　     　．

【答案】-189

【解析】由二项式定理知的展开式的通项为：

，

令，解得，

所以的系数是，故答案为：-189.

11．（2022·南开模拟）若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为　     　．

【答案】60

【解析】因为各项的二项式系数之和为64，，即；

通项公式=

令，解得.

展开式中常数项为.

1．（2022·江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（　　） 

A．10 B．12 C．15 D．20

【答案】A

【解析】因为 的展开式为 ，

的展开式为 和 的和，

； ，

所以在 中令 ，即可得到 的项的系数，是 ，

故答案为：A.

2．（2022·赣州模拟） 展开式中 的系数为（　　） 

A．-260 B．-60 C．60 D．260

【答案】A

【解析】 展开式的通项公式为 .

要求 的系数，只需 .故答案为：A

3．（2022·新乡三模）已知的展开式中各项的系数之和为2，则展开式中含项的系数为（　　）

A．-20 B．-10 C．10 D．40

【答案】C

【解析】令，得，所以，

因为的展开式通项为，

故的展开式中含项的系数为.

故答案为：C.

4（2022·湖南模拟）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（　　）

A．299 B．-301 C．300 D．-302

【答案】A

【解析】令，得.

所以的展开式中所有项的系数和为 .

由可以看成是5个因式相乘.

要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.

所以的展开式中含的项为，

所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.

故答案为：A

5．（2022·柳州模拟） 展开式中 的系数为　     　（用数字作答）．

【答案】5

【解析】因为（1+x）5的展开式通项为 （k=0，1，2，3，4，5），

①当k=2时，展开式中x2项为，

②当k=4时，展开式中x2项为，

所以，展开式中x2的系数为10-5=5.

故答案为：5

6．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中  的系数为 　     　 (用数字作答). 

【答案】-28

【解析】(x+y)8的通项公式为，

①当8-r=2，即r=6时， 展开式中   项为，

②当8-r=3，即r=5时， 展开式中   项为，

 则展开式中   项为，

故答案为：-28

7．（2022·昆明模拟）若的展开式中存在项，且项的系数不为0，则的值可以是　                　．（写出满足条件的一个的值即可）

【答案】5（答案不唯一）

【解析】由通项公式可得，当时，，故可取当时，故答案为：5（答案不唯一）

8．（2022·嵊州模拟）展开式中所有项的系数和是　     　，含的项的系数是　     　．

【答案】243；30

【解析】令x=1，则所有项的系数和是；

因为的通项为（r=0，1，2，3，4，5），

所以当r=0时，需求展开式中的项为；

当r=1时，需求展开式中的项为；

所以含的项的系数是.

故答案为：243；30．

9．（2022·河西模拟）的展开式中，的系数是　     　.

【答案】-260

【解析】】的展开式的通项，

令，得，；

令，得，，

则的展开式中的系数是．

故答案为：-260

10．（2022·武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数　     　.

【答案】2

【解析】，

的展开式通项为，所以，的展开式通项为

，

令，可得，由题意可得，解得.故答案为：2.

11．（2022·湖北模拟）在展开式中，的系数为　     　.

【答案】7

【解析】化简得，根据该展开式的通项公式，可得

，则的系数为7.故答案为：7

1．（2022·惠州模拟）若，则（　　）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】令，代入得，令，得，所以. 故答案为：B.

2．（2022·鹤壁模拟）设，若则非零实数a的值为（　　）

A．2 B．0 C．1 D．-1

【答案】A

【解析】∵，对其两边求导数，

∴，

令，得，①

又，②

∴，∴，解得，

故答案为：A．

3．（2022·上虞模拟）已知，则　     　，

　     　.

【答案】-3240；-1

【解析】展开式的通项为：，

令，可得；

令得：；令得：，

.

故答案为：-3240；-1.

4．（2022·平江模拟）已知 ，则 的值为　     　． 

【答案】78

【解析】令 ，可得 ，

令 ，可得 ①

令 ，则 ②

所以②①可得： ，

所以 ，即 。

故答案为：78。

5．（2022·湖州模拟）设 .若 ，则实数 　     　， 　     　． 

【答案】；6

【解析】令x=1，则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得： m=.

(x+1)5的第r+1项系数为Tr+1=.所以(x+ 1)5展开式中的x3的系数为=10，

 (x- 1)4的第r+1项系数为Tr+1=·x4-r.(-1)r 所以(x- 1)4展开式中的x3的系数为-= -4；

 a3=10-4=6故答案为： ；6.

6．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和.

【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为

【解析】(1)二项式系数的和为.

(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.

(4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10

令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为.

7．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.

【答案】（1）；

（2）1；

（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；

（4）奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；

（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

【解析】设，

各项系数和为，

奇数项系数和为，偶数项系数和为，

的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

（1）二项式系数的和为；

（2）令，，则，

所以各项系数和为1；

（3）奇数项的二项式系数和为，

偶数项的二项式系数和为；

（4）由（2）知，①，取，，

则②，

所以奇数项的系数和，

偶数项的系数和；

（5）由（4）知，的奇次项系数和为，

的偶次项系数和为.

1．（2021·全国·高二单元测试）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（    ）

A．0 B．11 C．12 D．25

【答案】CD

【解析】∵

，

又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，

∴，，结合选项可知CD满足．

故选：CD.

2（2022·广西）设为奇数，那么除以13的余数是（    ）

A． B．2 C．10 D．11

【答案】C

【解析】

因为为奇数，则上式=.

所以除以13的余数是10.

故选：C.

3．（2022高二下·泰兴期末）若，则被4除得的余数为　     　.

【答案】1

【解析】由题知，时，①，

时，②，由①+②得，

，

故

所以被4除得的余数是1.

故答案为：1.

4．（2022·山东省）若，则被8整除的余数为___________.

【答案】5

【解析】在已知等式中，取得，

取得，

两式相减得，

即，

因为

因为能被8整除，

所以被8整除的余数为5，

即被8整除的余数为5，

故答案为：5.