2024运城高一上学期10月月考试题数学含解析

山西2023～2024年度教育发展联盟

高一10月份调研测试

数学

命题人：运城中学  吕莹  审制：瑾鹏教育研发中心

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：必修一第一、二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 下列各式中关系符号运用正确是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 集合的真子集的个数是（    ）

A. 7 B. 8 C. 6 D. 4

3. 命题：，的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. “关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ）

A. -4 B. 4 C. 2 D. -2

7. 已知关于方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（    ）

A. 或4 B. 4 C.  D.

8. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（    ）人

A. 19 B. 18 C. 9 D. 29

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，若，则的取值可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 当时，

11. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 若，则 D. 若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，，若，则符合条件的集合的个数为________.

14. 若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.

15. 对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是________.

①是的充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的必要而不充分条件；

④，.

16. 已知，，满足，存在实数，使得恒成立，则最小值为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知全集，，，求：

（1）；

（2）.

18 设：实数满足，其中，：实数满足.

（1）若，且，均成立，求实数的取值范围；

（2）若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.

19 已知集合，

（1）当时，求实数的值；

（2）若时，求实数的取值范围.

20. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；

（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.

21. 设函数.

（1）若，，，求不等式的解集；

（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22. 【问题】已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集.

在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】：

【解法一】由已知得方程的两个根分别为1和2，且，

由韦达定理得所以不等式转化为，整理得，解得，所以不等式的解集为.

【解法二】由已知得，

令，则，所以不等式解集是.

参考以上解法，解答下面的问题：

（1）若关于的不等式的解集是，请写出关于的不等式的解集；（直接写出答案即可）

（2）若实数，满足方程，，且，求的值.

山西2023～2024年度教育发展联盟

高一10月份调研测试

数学

命题人：运城中学  吕莹  审制：瑾鹏教育研发中心

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：必修一第一、二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 下列各式中关系符号运用正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：或，故B错误；

对于C：或，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：D

2. 集合的真子集的个数是（    ）

A. 7 B. 8 C. 6 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合，判断其有三个元素，即可得出结果.

【详解】由，

集合有三个元素，则其真子集个数为.

故选：A

3. 命题：，的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定判断．

【详解】由题意得，的否定是，，

故选：B

4. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合，利用集合间的基本运算求解即可.

【详解】由，

，

得或，

则.

故选：D

5. “关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出关于的不等式的解集为的充要条件，即可判断.

【详解】若关于的不等式的解集为，

当时，，显然成立；

当时，则，解得；

综上可得.

即关于的不等式的解集为的充要条件为，

因为，

所以关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件可以是.
故选：C

6. 已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ）

A. -4 B. 4 C. 2 D. -2

【答案】B

【解析】

【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得最大值.

【详解】因为一元二次不等式的解集为，

所以，，则，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故选：B.

7. 已知关于的方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（    ）

A. 或4 B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由韦达定理列式求解．

【详解】由时，，

，解得（舍去）

故选：C

8. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（    ）人

A. 19 B. 18 C. 9 D. 29

【答案】A

【解析】

【分析】设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，由题意画出Venn图求解.

【详解】解：设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，

由题意画出Venn图，如图所示：

则只参加数学竞赛的有：人，只参加物理竞赛的有人，只参加化学竞赛的有：人，

所以参加竞赛的有人，

由题意得，

解得，

所以只参与两科竞赛的同学有19人，

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，若，则的取值可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】AC

【解析】

【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.

【详解】∵集合，，

∴，或.

故选：AC

10. 二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 当时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可.

【详解】根据图像可得，，，A正确；

由对称性和时，，所以时，，

即，，

当时，，BC正确，D错误

故选：ABC

11. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由基本不等式逐一判断．

【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误，

对于B，，则，故B正确，

对于C，，则都为正数，，

当且仅当，即时等号成立，故C正确，

对于D，，

当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，

故选：BCD

12. 对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，
 

若，具有包含关系，不妨设是的真子集，

对于A，图中，，图中，所以，A正确；

对于B，图中，成立，

图中，，，

所以成立，故B正确；

对于C，若，则；故C正确；

对于D，由图2可知，若，则，故D错误；

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，，若，则符合条件的集合的个数为________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据，列举出集合C求解.

【详解】解：因为集合，，且，

所以集合共4个，

故答案为：4

14. 若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.

【详解】命题“，”为真命题，即，，

设，，

当时，取得最大值为，所以，

即的取值范围为.

故答案为：

15. 对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是________.

①是的充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的必要而不充分条件；

④，.

【答案】②③④

【解析】

【分析】①②③利用充分条件和必要条件的定义判断；④举例判断.

【详解】①当时，，当，即时，解得或，故是的充分不必要条件；

②由一个无理数与一个有理数的和与差为无理数知：“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③当，即时，解得或 ，所以“”是“”的必要而不充分条件；

④当时，，故正确；

故答案为：②③④

16. 已知，，满足，存在实数，使得恒成立，则的最小值为________.

【答案】4

【解析】

【分析】由得整理得到，即可得的最小值为.

【详解】因为，，所以，即，

得，所以，当且仅当时等号成立，

由得，

整理得，

即，

所以，

又因为存在实数，使得恒成立，

所以，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知全集，，，求：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用集合的交集运算求解；

（2）利用集合的补集和并集运算求解.

【小问1详解】

解：因为，，

所以.

【小问2详解】

因为或，

所以或.

18. 设：实数满足，其中，：实数满足.

（1）若，且，均成立，求实数的取值范围；

（2）若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，再根据二次不等式求解即可；

（2）根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可.

【小问1详解】

当时，由，解得，

而由，得，

由于，均成立，故，即的取值范围是.

【小问2详解】

由得，

因为，所以，故：，

因为是的充分不必要条件，所以

解得.

故实数的取值范围是.

19. 已知集合，

（1）当时，求实数的值；

（2）若时，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或或

【解析】

【分析】（1）利用，代入解方程，即可求出，再检验即可；

（2）转化为子集问题，结合子集的定义得出的所有可能情况，分别讨论这些情况，即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

，

因为，所以，即，

解得或.

当时，，，不合题意；

当时，，，符合题意，

综上，；

【小问2详解】

因为，所以，即可能为，，，，

当时，，

即，解得或，

当集合中只有一个元素时，，

解得或，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，由根与系数的关系可知,

又，解得，

所以综上所述，所求实数的取值范围是或或.

20. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；

（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.

【答案】（1）   

（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.

【解析】

【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；

（2）由，利用基本不等式求解.

【小问1详解】

解：设的长为米，则米，

∵，∴，

∴；

【小问2详解】

记矩形花坛的面积为，

则，

当且仅当，即时取等号，

故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.

21. 设函数.

（1）若，，，求不等式的解集；

（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，分类讨论求解一元二次不等式，即可得到结果；

（2）根据题意，将不等式化简，结合基本不等式，即可得到结果.

【小问1详解】

当，，，则不等式，

即，

当，方程的两根为和2，

①当，即时，不等式的解集为；

②当，即时，不等式的解集为；

③当且，即时，不等式的解集为.

综上所述：当时，不等式的解集为.

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

【小问2详解】

若，不等式即：，

当时，可变形为：，即，

又，

当且仅当，即时，等号成立，

∴，即，

∴实数的取值范围是.

22. 【问题】已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集.

在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】：

【解法一】由已知得方程两个根分别为1和2，且，

由韦达定理得所以不等式转化为，整理得，解得，所以不等式的解集为.

【解法二】由已知得，

令，则，所以不等式解集是.

参考以上解法，解答下面的问题：

（1）若关于的不等式的解集是，请写出关于的不等式的解集；（直接写出答案即可）

（2）若实数，满足方程，，且，求的值.

【答案】（1）   

（2）-490

【解析】

【分析】（1）参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可.

（2）由题意可得，是方程是的两个不等根，由韦达定理代入求解即可得出答案.

【小问1详解】

由得，，

令，因为，所以.

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

方程，，

化简为，.

即，，

又.故，是方程是的两个不等根，

由韦达定理得

故.