人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课文ppt课件

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等比数列的前n项和公式
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
解决数列应用题时一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
题型一 等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　. (2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　. (3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　. 
解析 (1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.
方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于
(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(　　)A.30B.60C.90D.120
答案 (1)B　(2)D解析 (1)设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
题型二 等差数列与等比数列的综合问题
例2已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,1是 S2和 S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.
反思感悟 数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.
变2 已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解 (1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,q>0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.(2)数列{bn}的前n项和