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2023-2024学年浙江省宁波市宁海县西片六校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省宁波市宁海县西片六校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省宁波市宁海县西片六校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
2．二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
3．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2
5．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
6．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（ ）
A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2 B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2
C．x1＝x2；y1＝y2 D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y2
7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数
8．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
10．已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为 ．
12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 个．
13．点A（0，3），点B（4，0），则点O（0，0）在以AB为直径的圆 （填内、上或外）
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
16．定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为 ．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分，共66分）
17．已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
19．把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球．其中一组标上数字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一组标上数字2，3，4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球．
（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；
（2）若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
22．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
【分析】二次函数写成一般形式后，即可求二次项系数与常数项．
解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4＝﹣1．故选B．
【点评】考查二次函数的定义，同时注意系数不能忘了符号．
2．二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
【分析】根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键．
3．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人同坐1号车的情况数，即可求出所求的概率．
解：列表如下：
1
2
1
（1，1）
（2，1）
2
（1，2）
（2，2）
所有等可能的情况有4种，其中两人同坐1号车的情况有1种，
所以两人同坐1号车的概率为，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
解：抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2+2．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答即可．
解：∵钝角三角形的外心在三角形的外部，
∴点O是△ABD的外心，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
6．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（ ）
A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2 B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2
C．x1＝x2；y1＝y2 D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y2
【分析】根据抛物线的对称性判断即可．
解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，
∴＝﹣1，y1＝y2，
∴x1+x2＝﹣2；y1＝y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
【分析】先根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y＝|ax2+bx+c|的图象如图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝3的下方时且在x轴上方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝3的上边，
故k＞3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
10．已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，由﹣与m及m+1的关系可得函数最大值与最小值与m及b的值有关，进而求解．
解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2﹣+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，函数最小值为﹣+c，
将x＝m代入y＝x2+bx+c得y＝m2+bm+c，
将x＝m+1代入y＝x2+bx+c得y＝（m+1）2+b（m+1）+c，
当m+1＜﹣时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，
当m＞﹣时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，
∵m2+bm+c，（m+1）2+b（m+1）+c，﹣+c都含有c项，
∴函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为 （0，﹣5） ．
【分析】根据题意，令x＝0，解y，即可得抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标．
解：根据题意，
令x＝0，即y＝﹣5，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为：（0，﹣5）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．
12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．
【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．
解：设这个袋子中有红球x个，
∵摸到红球的概率是，
∴＝，
∴x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．点A（0，3），点B（4，0），则点O（0，0）在以AB为直径的圆 上 （填内、上或外）
【分析】先得出圆的圆心坐标C，进而得出OC的长与半径的长进行比较解答即可．
解：如图，
∵点A（0，3），点B（4，0），
∴AB＝，点C（2，1.5），
∴OC＝＝CA，
∴点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
故答案为：上
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 3 ．
【分析】由题意易得，根据勾股定理可求OE的长，然后问题可求解．
解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴，
∴，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 3 ．
【分析】点A（2，4）代入抛物线中求出解析式为，再设CD＝2x，进而求得E点坐标为（x，4﹣2x），代入中即可求解．
解：将点A（3，4）代入抛物线y＝ax2中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD＝2x，则CM＝x＝NE，NO＝MO﹣MN＝4﹣2x，
此时E点坐标为（x，4﹣2x），代入抛物线中，
得到：，
解得，x2＝﹣6（负值舍去），
∴CD＝2x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键．
16．定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为 或 ．
【分析】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
由图象可得，当直线y＝x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
令x+3＝﹣x+2，解得x＝﹣，
∴B（﹣，），
当直线y＝x+b经过点A时，×（﹣1）+b＝2，解得b＝；
当直线y＝x+b经过点B时，×（﹣）+b＝，解得b＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查函数中的新定义类问题，涉及中位数的定义，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分，共66分）
17．已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
解：（1）把A（0，1），B（2，﹣1）代入y＝x2+px+q，
得，
解得，
∴p，q的值分别为﹣3，1；
（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣3x+1，得y＝5，
∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．
【点评】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球．其中一组标上数字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一组标上数字2，3，4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球．
（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；
（2）若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙获胜的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）列表如下：
1
2
3
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
由表知，共有9种等可能结果，其中取出的两个球上的数字都为奇数的有2种结果，
所以取出的两个球上的数字都为奇数的概率为；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
列表如下：
1
2
3
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
57
由表知，共有9种等可能结果，其中两球上的数字和为奇数的有5种结果，和为偶数的有4种结果，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；
（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，DE保持不变；
解：（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4．
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝，
∴DE保持不变．
【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．
21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【分析】（1）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣7；
（2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴≤﹣2，即m≤﹣7；
（2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，a＝或a＝﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）根据二次函数的性质得到≤﹣2；（2）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
22．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 y＝﹣x+110 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键．
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 点A（2，3）和C（﹣3，﹣2） 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；
（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，则m＝4，满足y＝4x+4，两函数有唯一一个交点，Δ＝0，可解答；
（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论．
解：（1）当m＝1时，
∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，
∴点A（2，3）是函数y＝的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，
∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y＝的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，
∴点C（﹣3，﹣2）是函数y＝的“1倍点”；
综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y＝的“1倍点”；
故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；
（2）当m＝4时，y＝4x+4，
∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，
∴4x+4＝﹣x2+bx，
∴x2+（4﹣b）x+4＝0，
∴Δ＝（4﹣b）2+4×1×4＝0，
∴b＝0或8；
（3）∵，
∴，
∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），
如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，
∴AC＝＝，
∴10﹣＞2m，
∴m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1或2．
【点评】本题是一个函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，新定义，两函数图象的交点，关键是将新定义转化为常规知识进行解答．难度较大，是中考压轴题．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
2023-2024学年浙江省宁波市宁海县西片六校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
2．二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
3．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2
5．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
6．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（ ）
A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2 B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2
C．x1＝x2；y1＝y2 D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y2
7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数
8．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
10．已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为 ．
12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 个．
13．点A（0，3），点B（4，0），则点O（0，0）在以AB为直径的圆 （填内、上或外）
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
16．定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为 ．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分，共66分）
17．已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
19．把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球．其中一组标上数字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一组标上数字2，3，4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球．
（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；
（2）若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
22．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
【分析】二次函数写成一般形式后，即可求二次项系数与常数项．
解：二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4＝﹣1．故选B．
【点评】考查二次函数的定义，同时注意系数不能忘了符号．
2．二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
【分析】根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
解：∵二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键．
3．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人同坐1号车的情况数，即可求出所求的概率．
解：列表如下：
1
2
1
（1，1）
（2，1）
2
（1，2）
（2，2）
所有等可能的情况有4种，其中两人同坐1号车的情况有1种，
所以两人同坐1号车的概率为，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
解：抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2+2．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△ACE
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答即可．
解：∵钝角三角形的外心在三角形的外部，
∴点O是△ABD的外心，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
6．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（ ）
A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2 B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2
C．x1＝x2；y1＝y2 D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y2
【分析】根据抛物线的对称性判断即可．
解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，
∴＝﹣1，y1＝y2，
∴x1+x2＝﹣2；y1＝y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′．故②正确；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣3 B．k＞﹣3 C．k＜3 D．k＞3
【分析】先根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，
∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）
∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，
∴y＝|ax2+bx+c|的图象如图，
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝3的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝3上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝3的下方时且在x轴上方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝3的上边，
故k＞3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
10．已知二次函数y＝x2+bx+c，当m≤x≤m+1时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与m，b，c的值都有关
B．与m，b，c的值都无关
C．与m，b的值都有关，与c的值无关
D．与b，c的值都有关，与m的值无关
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，由﹣与m及m+1的关系可得函数最大值与最小值与m及b的值有关，进而求解．
解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2﹣+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，函数最小值为﹣+c，
将x＝m代入y＝x2+bx+c得y＝m2+bm+c，
将x＝m+1代入y＝x2+bx+c得y＝（m+1）2+b（m+1）+c，
当m+1＜﹣时，x＝m时y取最大值，x＝m+1时y取最小值，
当m＞﹣时，x＝m+1时y取最大值，x＝m时y取最小值，
∵m2+bm+c，（m+1）2+b（m+1）+c，﹣+c都含有c项，
∴函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为 （0，﹣5） ．
【分析】根据题意，令x＝0，解y，即可得抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标．
解：根据题意，
令x＝0，即y＝﹣5，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为：（0，﹣5）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．
12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．
【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．
解：设这个袋子中有红球x个，
∵摸到红球的概率是，
∴＝，
∴x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．点A（0，3），点B（4，0），则点O（0，0）在以AB为直径的圆 上 （填内、上或外）
【分析】先得出圆的圆心坐标C，进而得出OC的长与半径的长进行比较解答即可．
解：如图，
∵点A（0，3），点B（4，0），
∴AB＝，点C（2，1.5），
∴OC＝＝CA，
∴点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
故答案为：上
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，若AB＝10，CD＝6，则弦AD的长为 3 ．
【分析】由题意易得，根据勾股定理可求OE的长，然后问题可求解．
解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴，
∴，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 3 ．
【分析】点A（2，4）代入抛物线中求出解析式为，再设CD＝2x，进而求得E点坐标为（x，4﹣2x），代入中即可求解．
解：将点A（3，4）代入抛物线y＝ax2中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD＝2x，则CM＝x＝NE，NO＝MO﹣MN＝4﹣2x，
此时E点坐标为（x，4﹣2x），代入抛物线中，
得到：，
解得，x2＝﹣6（负值舍去），
∴CD＝2x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键．
16．定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为 或 ．
【分析】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
由图象可得，当直线y＝x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
令x+3＝﹣x+2，解得x＝﹣，
∴B（﹣，），
当直线y＝x+b经过点A时，×（﹣1）+b＝2，解得b＝；
当直线y＝x+b经过点B时，×（﹣）+b＝，解得b＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查函数中的新定义类问题，涉及中位数的定义，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各10分，24题12分，共66分）
17．已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
解：（1）把A（0，1），B（2，﹣1）代入y＝x2+px+q，
得，
解得，
∴p，q的值分别为﹣3，1；
（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣3x+1，得y＝5，
∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．
【点评】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球．其中一组标上数字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一组标上数字2，3，4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球．
（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；
（2）若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙获胜的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）列表如下：
1
2
3
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
由表知，共有9种等可能结果，其中取出的两个球上的数字都为奇数的有2种结果，
所以取出的两个球上的数字都为奇数的概率为；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
列表如下：
1
2
3
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
57
由表知，共有9种等可能结果，其中两球上的数字和为奇数的有5种结果，和为偶数的有4种结果，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；
（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，DE保持不变；
解：（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4．
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝，
∴DE保持不变．
【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．
21．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【分析】（1）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣7；
（2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴≤﹣2，即m≤﹣7；
（2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，a＝或a＝﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）根据二次函数的性质得到≤﹣2；（2）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
22．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 y＝﹣x+110 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入y＝﹣x+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，利用x的取值范围不同得出函数解析式是解题关键．
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 点A（2，3）和C（﹣3，﹣2） 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；
（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，则m＝4，满足y＝4x+4，两函数有唯一一个交点，Δ＝0，可解答；
（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论．
解：（1）当m＝1时，
∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，
∴点A（2，3）是函数y＝的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，
∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y＝的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，
∴点C（﹣3，﹣2）是函数y＝的“1倍点”；
综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y＝的“1倍点”；
故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；
（2）当m＝4时，y＝4x+4，
∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，
∴4x+4＝﹣x2+bx，
∴x2+（4﹣b）x+4＝0，
∴Δ＝（4﹣b）2+4×1×4＝0，
∴b＝0或8；
（3）∵，
∴，
∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），
如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，
∴AC＝＝，
∴10﹣＞2m，
∴m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1或2．
【点评】本题是一个函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，新定义，两函数图象的交点，关键是将新定义转化为常规知识进行解答．难度较大，是中考压轴题．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
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