初中青岛版4.1 一元二次方程练习

第22章 一元二次方程

1．［2019·舟山］用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是(　　)

A．(x＋2)2＝2   B．(x＋1)2＝2

C．(x＋2)2＝3  D．(x＋1)2＝3

2．［2019·广东］若2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，则常数k的值为(　　)

A．1  B．2  C．－1  D．－2

3．［2019·东营］若|x2－4x＋4|与互为相反数，则x＋y的值为(　　)

A．3  B．4  C．6  D．9

4．［2019·广州］关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(　　)

A．q＜16  B．q＞16  C．q≤4  D．q≥4

5．［2019·烟台］若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)

A．－1或2  B．1或－2

C．－2      D．1

6．［2019·白银］如图22－Y－1，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　)

A．(32－2x)(20－x)＝570

B．32x＋2×20x＝32×20－570

C．(32－x)(20－x)＝32×20－570

D．32x＋2×20x－2x2＝570

图22－Y－1

7．［2019·无锡］某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(　　)

A．20%  B．25%  C．50%  D．62.5%

8．［2019·通辽］若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx－k的大致图象是(　　)

图22－Y－2

9．［2019·荆门］已知x＝3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为(　　)

A．7      B．10      C．11      D．10或11

10．［2019·贵港］若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)

A．3   B．－3   C．5   D．－5

11．［2019·德州］方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为____________．

12．［2019·菏泽］关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．

13．［2019·巴中］已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则a2＋2ab＋b2的值为________．

14．［2019·岳阳］在△ABC中，BC＝2，AB＝2 ，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．

15．［2019·攀枝花］设x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则＋的值为________．

16．［2019·丽水］解方程：(x－3)(x－1)＝3.

17．［2019·百色］如图22－Y－3，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB的长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.

(1)求这个地面矩形的长；

(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，则用哪一种规格的地板砖费用较少？

图22－Y－3

18．［2019·南充］已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．

19．［2019·桂林］为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2019年该市投入基础教育经费5000万元，2019年投入基础教育经费7200万元．

(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2019年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2019元，则最多可购买电脑多少台？

20．［2019·滨州］根据要求，解答下列问题：

(1)解下列方程(直接写出方程的解即可)：

①方程x2－2x＋1＝0的解为____________；

②方程x2－3x＋2＝0的解为____________；

③方程x2－4x＋3＝0的解为____________；

(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x2－9x＋8＝0的解为____________；

②关于x的方程________的解为x1＝1，x2＝n.

(3)请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．

教师详答

1．B　[解析] ∵x2＋2x－1＝0，

∴x2＋2x＋1＝2，

∴(x＋1)2＝2.

故选B.

2．B　[解析] ∵2是一元二次方程x2－3x＋k＝0的一个根，

∴22－3×2＋k＝0，

解得k＝2.

故选B.

3．A　[解析] 根据题意得|x2－4x＋4|＋＝0，

所以|x2－4x＋4|＝0，＝0，

即(x－2)2＝0，2x－y－3＝0，

所以x＝2，y＝1，

所以x＋y＝3.

故选A.

4．A　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝82－4q＝64－4q＞0，解得q＜16.

故选A.

5．D　[解析] ∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，

∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－1.

∵x1＋x2＝1－x1x2，

∴2m＝1－(m2－m－1)，

即m2＋m－2＝(m＋2)(m－1)＝0，

解得m1＝－2，m2＝1.

∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根，

∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，解得m≥－1，

∴m＝1.

故选D.

6．A

7．C　[解析] 设从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率为x，则2月份的销售额为2(1＋x)万元，3月份的销售额为2(1＋x)2万元，

由题意可得2(1＋x)2＝4.5，

解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)，

即从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率为50%.

故选C.

8．B　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴(－2)2－4(－k＋1)＞0，

即k＞0，

∴－k＜0，

∴一次函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限．故选B.

9．D　[解析] 把x＝3代入方程得9－3(m＋1)＋2m＝0，

解得m＝6，

则原方程为x2－7x＋12＝0，

解得x1＝3，x2＝4.

因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，

①当△ABC的腰长为4，底边长为3时，△ABC的周长为4＋4＋3＝11；

②当△ABC的腰长为3，底边长为4时，△ABC的周长为3＋3＋4＝10.

综上所述，△ABC的周长为10或11.

10．D　[解析] ∵a，b为方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根，

∴a＋b＝3，ab＝p.

∵a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝9－3p＝18，

∴p＝－3.

当p＝－3时，Δ＝(－3)2－4p＝9＋12＝21＞0，

∴p＝－3符合题意．

＋＝＝＝－2＝－5.

故选D.

11．x＝1或x＝　[解析] 3x(x－1)＝2(x－1)，移项，得3x(x－1)－2(x－1)＝0，

即(x－1)(3x－2)＝0，

∴x－1＝0或3x－2＝0，

解得x＝1或x＝.

12．0　[解析] 由于关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2－k＝0，解得k1＝1，k2＝0.当k＝1时，二次项系数k－1＝0，方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0不是关于x的一元二次方程，故k≠1，所以k的值是0.故答案为0.

13．1　[解析] ∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，

∴1＋a＋b＝0，

∴a＋b＝－1，

∴a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝1.

故答案为1.

14．2　[解析] ∵关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝16－4b＝0，

∴AC＝b＝4.

又∵BC＝2，AB＝2 ，

∴BC2＋AB2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，

∴AC边上的中线长＝AC＝2.

15．－　[解析] ∵x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，

∴x1＋x2＝，x1x2＝－，

∴＋＝＝＝－.

16．解：方程化为x2－4x＝0，

x(x－4)＝0，

所以x1＝0，x2＝4.

17．解：(1)设这个地面矩形的长是x m，则依题意得x(20－x)＝96，

解得x1＝12，x2＝8(舍去)．

答：这个地面矩形的长是12 m.

(2)用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖所需的费用为96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)．

用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用为96÷(1.00×1.00)×80＝7680(元)．

因为8250＞7680，

所以用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用较少．

18．[解析] (1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明方程的判别式Δ的值大于0即可；

(2)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．

解：(1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，

∴Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)∵x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1，x2，∴x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.

∵x12＋x22－x1x2＝7，

∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，

∴(m－3)2－3×(－m)＝7，

解得m1＝1，m2＝2，

即m的值是1或2.

19．[解析] (1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2019年及2019年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)根据年平均增长率求出2019年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．

解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，

根据题意，得5000(1＋x)2＝7200，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．

答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.

(2)2019年投入基础教育经费7200×(1＋20%)＝8640(万元)．

设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，

根据题意，得3500m＋2019(1500－m)≤86400000×5%，

解得m≤880.

答：最多可购买电脑880台．

20．[解析] (1)利用公式法或配方法解各方程即可；

(2)根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2－9x＋8＝0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1＝1，x2＝n，则此一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．

(3)利用配方法解方程x2－9x＋8＝0可判断猜想结论的正确．

解：(1)①x1＝x2＝1　②x1＝1，x2＝2　③x1＝1，x2＝3

(2)①x1＝1，x2＝8

②x2－(1＋n)x＋n＝0

(3)x2－9x＝－8，

x2－9x＋＝－8＋，

(x－)2＝，

x－＝±，

所以x1＝1，x2＝8.所以猜想结论正确．