广东省江门市陈白沙中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省江门市陈白沙中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共17页。
广东省江门市陈白沙中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，点E在平行四边形ABCD内，连接EA、EB、EC、ED，其中EC与对角线BD交于点F，则S△ABE+S△DEF＝（　　）

A．S△AED B．S△ECD C．S▱ABCD D．S△BCF
4．（3分）计算（+1）2020•（﹣1）2021的结果为（　　）
A． B． C．1 D．3
5．（3分）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
6．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠B＝60°，则∠D等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（3分）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，已知BC＝6，BD＝12，AC＝8，则△OAD的周长为（　　）

A．13 B．14 C．16 D．18
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC，AD＝3，DF＝1，四边形DBEC面积是（　　）

A．4 B．4 C．3 D．4
10．（3分）如图，点E在正方形ABCD的外部，∠DCE＝∠DEC，连接AE交CD于点F，∠CDE的平分线交EF于点G，AE＝2DG，若BC＝8，则AF等于（　　）

A．4 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当x满足　 　时，代数式有意义．
12．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，请化简式子：|a﹣b|﹣﹣＝　 　．

13．（3分）若，则（a+b）2020＝　 　．
14．（3分）平行四边形ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
15．（3分）两根木条的长度分别是4cm和5cm，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点D是AB边上一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：﹣﹣+（﹣2）0．
18．（6分）已知b＞a＞0，+＝．
（1）求+的值；
（2）求﹣的值．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6，DA＝2．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．

20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，延长CB至点F，使BF＝CB，连接DF，交AB于点E．
（1）求证：E为AB的中点．
（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．

21．（8分）如图，已知点P、Q，且PQ＝3cm．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表1cm，不要求写法．）
画图要求如下：到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离小于或等于5cm的点的集合．

22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足　 　时，四边形ADCE是正方形．

23．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若EF＝1，▱ABCD的周长为46，求BC的长．

24．（9分）如图1，正方形ABCD的边长为8，动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，当点E运动到终点C时，点F也停止运动，连接AE交对角线BD于点N，连接EF交BC于点M，连接AM．
（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）
（1）在点E、F运动过程中，判断EF与BD的位置关系，并说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，①判断AE与AM的数量关系，并说明理由；②△AEM能为等边三角形吗？若能，求出DE的长度；若不能，请说明理由；
（3）如图2，连接NF，在点E、F运动过程中，△ANF的面积是否变化，若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由．

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h，“水平底”与“铅垂高”的乘积为点A、B、C的“矩面积S”，即“矩面积”S＝ah．
例如：点A（1，2）、B（﹣3，1）、C（2，﹣2），它们的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（2，1）、B（﹣2，3），C（0，t）．
①若A、B、C三点的“矩面积”为12，写出点C的坐标：　 　；
②写出A、B、C三点的“矩面积”的最小值：　 　；
（2）已知点D（﹣1，3）、E（4，0）、F（t，2t），设D、E、F三点的“矩面积”为S，求S（用含t的式子表示）


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、＝2，不是最简二次根式；
B、＝5，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选：D．
2． 解：∵72＝49，242＝576，202＝400，152＝225，252＝625，
∴72+242＝252，152+202≠242，152+202＝252，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
3． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABE的面积+△CDE的面积＝平行四边形ABCD的面积，△BCD的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∴△ABE的面积+△CDE的面积＝△BCD的面积，
∴△ABE的面积+△CDE的面积﹣△CDF的面积＝△BCD的面积﹣△CDF的面积，
即S△ABE+S△DEF＝S△BCF；
故选：D．
4． 解：原式＝（+1）2020×（﹣1）2020×（﹣1）
＝[（+1）×（﹣1）]2020×（﹣1）
＝（2﹣1）2020×（﹣1）
＝12020×（﹣1）
＝﹣1．
故选：B．
5． 解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
6． 解：在Rt△AOB中，AB＝1，∠AOB＝30°，
∴OB＝2，
在Rt△BOC中，
OC＝＝＝．
故选：A．
7． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：C．
8． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，BC＝AD＝6，
∴△OAD的周长＝OD+OA+AD＝4+6+6＝16．
故选：C．
9． 解：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形，
∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD＝3，DF＝1，
∴DF是△ABC的中位线，AC＝2AD＝6，S△BCD＝S△ABC，
∴BC＝2DF＝2，
又∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴S平行四边形DBEC＝2S△BCD＝S△ABC＝AB•BC＝×4×2＝4，
故选：B．
10． 解：如图，作DH⊥AE于H，连接CG．设DG＝x，

∵∠DCE＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝90°，
∴DA＝DE，
∵DH⊥AE，
∴AH＝HE＝DG，
在△GDC与△GDE中，
，
∴△GDC≌△GDE（SAS），
∴GC＝GE，∠DEG＝∠DCG＝∠DAF，
∵∠AFD＝∠CFG，
∴∠ADF＝∠CGF＝90°，
∴2∠GDE+2∠DEG＝90°，
∴∠GDE+∠DEG＝45°，
∴∠DGH＝45°，
在Rt△ADH中，AD＝8，AH＝x，DH＝x，
∴82＝x2+（x）2，
解得x＝，
∵△ADH∽△AFD，
∴，
∴AF＝＝4，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
12． 解：由图可知：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴|a﹣b|﹣﹣＝（a﹣b）﹣（﹣b）﹣（﹣a﹣b）
＝2a+b．
13． 解：因为，
所以a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以（a+b）2020＝（﹣2+1）2020＝（﹣1）2020＝1，
故答案为：1．
14． 解：如图所示：
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
①当AE＝5cm时，平行四边形的周长＝2（5+12）＝34（cm）；
②当AE＝7cm时，平行四边形的周长＝2（7+12）＝38（cm）；
若点E在CD边上，同理可得▱ABCD的周长为34cm或38cm．
综上所述，▱ABCD的周长为34cm或38cm．
故答案为：34或38．

15． 解：如果第三边为斜边，则其长度为：＝（cm）；
如果第三边为直角边，则其长度为：＝3（cm）
故答案为：cm或3cm．
16． 解∵AC2+BC2＝169，BA2＝169，
∴BC2+AC2＝BA2，
∴∠BCA＝90°且DE⊥CB，DF⊥AC，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF＝CD，
∴当CD值最小时，EF的值最小，
∴根据垂线段最短则当CD⊥BA时，CD的值最小，
此时，∵S△ABC＝×CB×AC＝CD×BA，
∴CD＝，
∴EF的最小值为，
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝3﹣﹣（1+）+1
＝3﹣﹣1﹣+1
＝．
18． 解：（1）已知等式整理得：+＝＝，即（a+b）2＝7ab，
∴a2+b2＝5ab，
（1）原式＝＝5；
（2）由+＝5，两边平方得：（+）2＝++2＝25，即+＝23，
∴（﹣）2＝+﹣2＝21，
∵b＞a＞0，
∴﹣＞0，
则﹣＝．
19． 解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
又∵CD＝6，DA＝2，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠CAD+∠BAC＝90°+45°＝135°；
（2）四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×4×4+×2×4
＝8+4．

20． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠FBE，
∵BF＝CB，
∴AD＝BF，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AE＝BE，
即E是AB的中点；
（2）令AB长为2a，AB边上的高为h，
由（1）知BE＝a，
∵平行四边形ABCD的面积为32，
∴2ah＝32，
解得ah＝16，
∵四边形EBCD为梯形，
∴面积为（a+2a）h＝ah＝24．
21． 解：如图所示：

22． （1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，
∴AD＝2，
∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；
（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
同理可得：∠B＝45°，或∠BCA＝45°，
故答案为：∠BAC＝90°或∠B＝45°或∠BCA＝45°．
23． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，
∴AB＝AF，DC＝DE，
∴AF＝DE；
（2）∵▱ABCD的周长为46，
∴AD+AB＝23，
∵EF＝1，
∴2AB﹣AD＝EF＝1，
∴AB＝8，AD＝15，
∴BC＝15．
24． 解：（1）EF∥BD．
证明：∵动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF∥DB；

（2）①AE＝AM．
∵EF∥BD，
∴∠F＝∠ABD＝45°，
∴MB＝BF＝DE，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴△ADE≌△ABM，
∴AE＝AM；

②△AEM能为等边三角形．
若△AEM是等边三角形，则∠EAM＝60°，
∵△ADE≌△ABM，
∴∠DAE＝∠BAM＝15°，
∵tan∠DAE＝，AD＝8，
∴2﹣＝，
∴DE＝16﹣，
即当DE＝时，△AEM是等边三角形；

（3）△ANF的面积不变．
设DE＝x，过点N作NP⊥AB，反向延长PN交CD于点Q，则NQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴△DEN∽△BNA，
∴＝，
∴，
∴PN＝，
∴S△ANF＝AF×PN＝×（x+8）×＝32，
即△ANF的面积不变．


25． 解：（1）由题意：a＝4．
①当t＞3时，h＝t﹣1，
则4（t﹣1）＝12，可得t＝4，故点C的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h＝3﹣t，
则4（3﹣t）＝12，可得t＝0，故点C 的坐标为（0，0）；
故答案为：（0，4）或（0，0）；
②根据题意得：a的最小值为2，h的最小值为2，
∴A、B、C三点的“矩面积”的最小值为2×2＝4；
故答案为：4；
（2）分情况讨论：如图所示：
①当t＞4时，S＝（t+1）×2t＝2t2+2t；
②当≤t≤4时，S＝5×2t＝10t；
③当0≤t≤时，S＝5×3＝15；
④当﹣1≤t＜0时，S＝5（3﹣2t）＝15﹣10t；
⑤当t＜﹣1时，S＝（4﹣t）（3﹣2t）＝2t2﹣11t+12．