四川省自贡市富顺县代寺学区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

代寺学区2023－2024学年上期学情调研第一次九年级数学试题

数  学  试  题（总分150）

一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．下列方程一定是一元二次方程的是(　　)

A．3x2＋－1＝0    B．5x2－6y－3＝0

C．ax2－x＋2＝0    D．3x2－2x－1＝0

2．关于二次函数y=（x-2)2 +3，下列说法正确的是 (　　)

A．函数图象开口向下           B．函数图象的顶点坐标为（-2，3）

C．该函数有最大值，最大值为3    D．当x>2，y随x的增大而增大

3．关于x的一元二次方程x2-4x+8=0根的情况为(　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.无实数根

D.只有一个实数根

4．小明初一数学平均成绩为60分，经过两年不懈努力得到连续进步，到初三时能达到88分.设每年平均进步的百分率为x,则x满足(　　)

A.60(1+x)2=88         B.88(1+x)2 =60

C.60(1-x)2 =88        D.88(1-x)2  =60

5．若一元二次方程(x+a)2=b(a,b为常数)，化成一般形式为x2-8x-5=0,则a,b的值分别是(　　)

A.-4,11  B.-4,21   C.4,21 D.-8,69

6．下列函数是关于x的二次函数的是(　　)

A.y=y=x2+                 B.y=x(1-x)

C.y=(x+1)2-x2    D.y=ax2+bx+c

7．若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是(　　)

A.m<-2 B.m>2 C.m<2  D.0<m≤2

8．一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(　　)

9．方程 x2－2x－4＝0和方程x2－4x+2＝0中所有实数根之和是(　　)

A．2    B．4   C．6     D．8

10．将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为(　　)

A．y=（x-1)2 +2  B．y=（x+1)2-2 

C．y=（x-1)2 -2                D．y=（x+1)2 +2

11．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A.﹣1＜x＜3         B.﹣1＜x＜4  

C.x＜﹣1或x＞4       D.x＜﹣1或x＞3

12．如图，抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则以下结论：

①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.正确的是(　　)

A.① ② ③    B.① ③ ④

C.① ② ④    D.① ② ③ ④

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

13. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=(x-2)2+1图象上，若x1<x2<2， 则y1 　　　y2 .

14. 函数y=(x-5)2+5的顶点坐标是　　　　　．

15. 已知x＝1是关于x的一元二次方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为________．

16．如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则点Q的坐标为　　　　　. 

17．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2012＝________．

18．观察与思考:我们知道,1+2+3+…+n=,那么13+23+33+…+n3的结果等于多少呢?请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,解决下列问题:

…

13=12　13+23=32　13+23+33=62　13+23+33+43=102

概括:13+23+33+…+n3=　         　. 

三．解答题（共8小题，共76分）

19．（8分）用适当的方法解方程：x2-4x-5=0  ；

20．（8分）先化简，再求值：(1+)÷，其中x满足x2－x－1＝0.

21．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0），且过点C（0，-3），求抛物线的解析式.

22．（8分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2 ，那么通道的宽应设计成多少？

23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.

(1)求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求周长.

24．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

25.（12分）在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．

(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．

(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．

①求m的值．

②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：

一是这两个抛物线具有相同的生成线；

二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.

求p与q的值．

26.（14分）如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0, 3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC 的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图①                      图②