2024年高考数学第一轮复习四十三讲04 基本不等式及应用（原卷附答案）

考向04   基本不等式及应用

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1.几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).

特例：（同号）.

（3）其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知.

（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成立.

1.基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

1．（2022·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为______．

2．（2022·福建龙岩·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为___________.

3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．

4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.

1．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则 的最小值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．

2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知，定义，则的最小值是（       ）

A．5 B．6 C．8 D．1

3．（2022·全国·模拟预测（文））若实数，满足，则的最小值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知实数a，b满足，且，则的最小值为（       ）.

A．1 B． C．4 D．

6．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．不存在

7．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（       ）

A．2 B． C． D．3

8．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．2

9．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．

10．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（       ）

A．有最大值 B．的最小值是8

C．若，则 D．的最大值为

11．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．13

12．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

13．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知正数x，y满足，则的最小值（       ）

A． B． C． D．

14．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为_____.

15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．

1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）

A．13 B．12 C．9 D．6

4．（多选题）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

5．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．

7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．

10．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.

11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.

1．【答案】

【解析】

，当且仅当，

即，时取得等号．

故答案为：.

2．【答案】1

【解析】∵，当且仅当时等号成立

即，则

∴或（舍去），即

故答案为：1．

3．【答案】16

【解析】∵，则可得

∴

∵当且仅当时等号成立

∴

故答案为：16．

4．【答案】8

【解析】因为直线过圆心，所以，

因为a、b为正实数，

所以，当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：8

1．【答案】C

【解析】由可得：,故 ，

令，则，

因为

，

当且仅当，即或时等号成立，

所以 ，即的最小值为2，

故选：C．

2．【答案】A

【解析】由定义，得，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

所以，即的最小值为.

故选：A

3．【答案】C

【解析】因为，又

所以

所以，当且仅当，时取等号，

所以的最小值为2，

故选：C.

4．【答案】B

【解析】由，则，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故选：B.

5．【答案】C

【解析】由，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

6．【答案】A

【解析】

又，则

当且仅当即时取等号

故选：A

7．【答案】A

【解析】由，得，

即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.

故选：A.

8．【答案】D

【解析】由，得，而，则有，

因此，，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为2.

故选：D

9．【答案】C

【解析】因为正实数x，y满足，所以.

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是，

故选：C．

10．【答案】B

【解析】对A：，∴，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对B：，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

对C：，∴，∴，故C正确；

对D：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：B.

11．【答案】B

【解析】设切点为 ，

的导数为，

由切线的方程可得切线的斜率为1，令，

则 ，故切点为，

代入，得，

、为正实数，

则，

当且仅当，时，取得最小值9，

故选：B

12．【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，

因为，则，，可得，

由已知、，所以，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

13．【答案】A

【解析】令，，则，

即，

∴

，

当且仅当，即，时，等号成立，

故选：A.

14．【答案】

【解析】，

而，当且仅当时等号成立，

由可得或，

故，当且仅当或等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】由题意

当且仅当即时等号成立，

故答案为：

1．【答案】A

【解析】由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

2．【答案】C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

3．【答案】C

【解析】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

4．【答案】BC

【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

5．【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

6．【答案】##

【解析】设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

8．【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

9．【答案】

【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

10．【答案】.

【解析】由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

11．【答案】

【解析】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．