2024年高考数学第一轮复习四十三讲10 指数与指数函数（原卷附答案）

考向10  指数与指数函数

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

4.有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；

7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:

2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.

3.有关指数型函数的性质

(1)求复合函数的定义域与值域

形如的函数的定义域就是的定义域.

求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.

求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.

(2)判断复合函数的单调性

令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.

(3)研究函数的奇偶性

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性.

二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或轴对称，则函数具有奇偶性.

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2.指数函数

1．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．

4．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数为偶函数，则______．

5．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.

6．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知函数，则________.

1．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数.对正整数a，b，c，把记作，并规定，，则的数量级为（       ）（参考数据：）

A． B． C． D．

3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

5．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

6．（2022·安徽·肥东县第二中学模拟预测（文））若，，，，则，，这三个数的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））设函数（），若，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．

9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知函数，，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为________.

10．（2022·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．

11．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.

12．（2022·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．

13．（2022·江苏南通·模拟预测）若，则的最小值为_________．

14．（2022·北京·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.

15．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.

16．（2022··模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为___________.

17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）偶函数的值域为______．

18．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．

19．（2022·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.

20．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．

1．（2022·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国·高考真题（文））设，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2016·全国·高考真题（理））已知，，，则

A． B．

C． D．

6．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（       ）

A． B． C．1 D．2

7．（2016·全国·高考真题（文））已知，则

A． B．

C． D．

8．（2015·山东·高考真题（文））设则的大小关系是

A． B． C． D．

9．（2011·山东·高考真题（理））若点在函数的图象上，则的值为

A．0 B． C．1 D．

10．（2017·全国·高考真题（理））设函数则满足的x的取值范围是____________.

11．（2015·山东·高考真题（理））已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.

12．（2015·福建·高考真题（文））若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．

13．（2013·上海·高考真题（理））方程的实数解为_________.

1．【答案】B

【解析】由题意，函数，

因为，可得，解得，即，

所以.

故选：B.

2．【答案】A

【解析】由，得，由，得，

因此，，即，

由，得，于是得，

所以正数，，的大小关系为.

故选：A

3．【答案】1

【解析】，

而，则；

故答案为：1

4．【答案】1

【解析】函数为偶函数，则有，

即恒成立

则恒成立

即恒成立

则，经检验符合题意.

故答案为：1

5．【答案】.

【解析】，；，；.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】因为，则.

故答案为：.

1．【答案】C

【解析】当时，函数在上为减函数，

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

则存在，（）使得，

所以，消去，得，

令，则，

当时，，所以在上是单调增函数，

所以符合条件的，不存在.

当时，函数在上为增函数，

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，

即在上有两个不等实根，

设函数（），则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，

所以，又，，

故，即.

故选：C.

2．【答案】C

【解析】由题意可得，，

∴.

∵，∴.

故选:C.

3．【答案】C

【解析】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，

可得10小时后的电量为，则由题意可得

，

化简得，

即

令，则，

由题意得，则，

令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，

由函数和的图象可知，

该不等式的解集为，

所以，得，

故选：C

4．【答案】B

【解析】因为当时，，

所以

，

又，所以，

所以，，，

所以若，则n的最大值为10，

故选：B.

5．【答案】D

【解析】，

因为，均为增函数，所以为增函数，易求值域为；

又，所以是奇函数，图像关于对称.

因为，，不妨设；作出简图如下:

设点，此时直线的方程为，

由图可知，

两式相加可得；

因为

所以，即.

故选：D.

6．【答案】C

【解析】因为， 所以取，则

，

，

，所以.

故选：C.

7．【答案】A

【解析】函数，，定义域关于原点对称，

且，所以是奇函数，

当时，，

，则，，

所以，即，所以函数单调递增，

所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增

所以令，，解得，

令，

则在上单调递增，

原不等式可化为，而，

所以，解得，则，即解集为．

故选：A．

8．【答案】1

【解析】，

而，则；

故答案为：1

9．【答案】.

【解析】在和上都单调递减，且关于点成中心对称，

在上单调递增，

，

所以的图像也关于点成中心对称，

所以与图像有两个交点且关于点对称，

设这两个交点为、，

则，，

所以，，

所以.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】解：，

设，

当时，，所以，

所以在的值域为．

故答案为：．

11．【答案】##4.5

【解析】当时，，过定点，

又点在直线上，，即，

，，，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

12．【答案】①③

【解析】函数的定义域为.

对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；

对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；

对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；

所以正确结论的序号为①③．

故答案为：①③

13．【答案】

【解析】依题意，，，则，

当且仅当，即时取“=”，此时，，

所以，当时，取最小值.

故答案为：

14．【答案】1

【解析】如果 ， ，其值域为 ，

，不符合题意；

如果 ，当 时， ，

就是把函数的部分 以x轴为对称轴翻折上去，

∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为 ，

所以 ，不妨取 ；

故答案为：1.

15．【答案】

【解析】由，可得.

令，

因为均为上单调递减函数

则在上单调逆减，且，

，

故不等式的解集为.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，

当时，为增函数，

因为，则，

所以，，所以，，所以，，

因为，故恒成立，

由可得，解得.

因此，原不等式的解集为.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】由题设，，故，

所以，当且仅当时等号成立，又，

所以的值域为.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】由题意得：有解

令

有解，即有解，显然无意义

,当且仅当，即时取等，

故答案为：.

19．【答案】，

【解析】构造函数，那么 是单调递增函数，

且向左移动一个单位得到，

的定义域为，且，

所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．

不等式 等价于，

等价于

结合单调递增可知，

所以不等式的解集是，．

故答案为：，．

20．【答案】，，

【解析】设，，

则，对于，恒成立，

即，对于，恒成立，

∴，

即，

解得或，

即或，

解得或，

综上，的取值范围为，，．

故答案为：，，﹒

1．【答案】C

【解析】，故A错误，C正确；

，不是常数，故BD错误；

故选：C．

2．【答案】A

【解析】由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

3．【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

4．【答案】B

【解析】由可得，所以，

所以有，

故选：B.

5．【答案】A

【解析】

【详解】

因为，，，

因为幂函数在R上单调递增，所以，

因为指数函数在R上单调递增，所以，

即b<a<c.

故选：A.

6．【答案】A

【解析】解：由题意得，

所以，解得a=.

故选：A

7．【答案】A

【解析】

【详解】

因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

8．【答案】C

【解析】

【详解】

由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

9．【答案】D

【解析】

【详解】

由题意知:9=，解得=2，所以，故选D.

10．【答案】

【解析】

【详解】

由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.

11．【答案】

【解析】

【详解】

若 ，则 在上为增函数，所以 ，此方程组无解；

若 ，则在上为减函数，所以 ，解得 ，所以.

考点：指数函数的性质.

12．【答案】

【解析】

【详解】

试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于1.

13．【答案】

【解析】

【详解】

试题分析：由题意有，令（），则，即.

考点：1.换元法；2.指数，对数的运算.