2024年高考数学第一轮复习专题34 掌握直线方程的基本类型（原卷版）

专题34 掌握直线方程的基本类型

【考点预测】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

二、基本公式

1、两点间的距离公式

2、的直线斜率公式

3、直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率存在且过，

注：①当时，；②当不存在时，

（2）斜截式：直线的斜率存在且过，

（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．

注：可表示经过两点的所有直线

（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．

（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定．

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为．

特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离

2、点到直线的距离

点到直线的距离

特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

（2）设，则与之间的距离

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

【典例例题】

例1．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例2．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（    ）

A．2 B． C．2或 D．2或

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（    ）

A． B．

C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（    ）．

A． B． C． D．

例6．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．

例7．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.

例8．（2023·高三课时练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为______.

例9．（2023·上海静安·统考一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．

例10．（2023·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．

例11．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，.

(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；

(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；

(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.

【能力提升训练】

一、单选题

1．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ）

A．0 B． C． D．

2．（2023·浙江宁波·高二统考期末）直线的倾斜角为（    ）

A．0 B． C． D．

3．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C．1 D．或1

4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（    ）

A．2 B． C． D．

5．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）若直线：与直线：（）互相垂直，则（    ）

A． B． C．12 D．

6．（2023·山东威海·高二统考期末）经过，两点的直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

7．（2023·山西运城·高二统考期末）已知直线：与：平行，则实数a的值为（    ）

A．或2 B．0或2 C． D．2

8．（2023·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ）

A． B． C．6 D．12

9．（2023·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线与轴垂直，则为（    ）

A． B．0 C． D．或0

10．（2023·广东广州·高二统考期末）直线l：的倾斜角θ为（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

13．（2023·山东东营·高二统考期末）已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

14．（2023·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

15．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）直线的纵截距为（    ）

A． B． C． D．3

16．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

17．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

18．（2023·湖南益阳·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

19．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

20．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

21．（2023·全国·高三专题练习）如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)

A．

B．

C．

D．

22．（2023·高二单元测试）两平行直线与的距离为（    ）

A． B． C． D．

23．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

24．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（    ）

A．0 B． C． D．

25．（2023·山东泰安·高二统考期末）下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．直线在y轴上的截距为1

C．过点且垂直于直线的直线方程为

D．直线的倾斜角为120°

26．（2023·江苏盐城·高二校考期末）下列说法错误的是（    ）

A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

B．直线必过定点

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

三、填空题

27．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知直线：，：，若，则实数a的值为______.

28．（2023·高二课时练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的方程为______．

29．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）直线，当m变动时，所有直线都通过定点______.

30．（2023·高二课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．

31．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.

32．（2023·高二课时练习）到直线的距离为______．

33．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.

34．（2023·福建三明·高二统考期末）两条平行直线与间的距离为________.

35．（2023·高二课时练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为______．

36．（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．

四、解答题

37．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）直线过两直线：和：的交点，且与直线：平行，求直线的方程．

38．（2023·高二课时练习）求直线绕逆时针旋转后所得到的直线方程．

39．（2023·高二课时练习）若直线与的夹角是，求实数m的值．

40．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知点和直线．

(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；

(2)若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．

41．（2023·高二课时练习）经过点并且在两个坐标轴上的截距相等，求满足条件的直线的斜率．

42．（2023·高二课时练习）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程．

(1)P（2，3），；

(2)P（-2，-1），；

(3)P（-5，-1），．

43．（2023·广东佛山·高二统考期末）的三个顶点分别为，，，M是AB的中点.

(1)求边AB上的中线CM所在直线的方程；

(2)求的面积.

44．（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求a、b的值．

45．（2023·高二课时练习）已知点的坐标为，直线的方程为，求：

(1)点关于直线的对称点的坐标；

(2)直线关于点的对称直线的方程．

46．（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考期末）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，

求BC边上的高所在直线的方程；

求的面积．