2024年高考数学第一轮复习专题36 圆锥曲线基础过关小题（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题36 圆锥曲线基础过关小题（解析版），共42页。
专题36 圆锥曲线基础过关小题
【考点预测】
一．椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


统一方程

参数方程


第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长短轴长
长轴长短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距

离心率

点和椭圆
的关系


通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，,,
则弦长

（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
三、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（3）时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
标准方程


图形

y
x









B1
B2
F2
A2




A1

F1






B1
F1
x

y









A1
F2
B2

A2


焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围


实轴、
虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率

渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系


共渐近线的双曲线方程


弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，.
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
五、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
标准方程

y
x
O


F
l

y
x
O


F
l

F
y
x
O


l

图形
y
x
O


F
l
























对称轴
轴
轴
顶点
原点
焦点坐标




准线方程




三、抛物线中常用的结论
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）.
（2）在抛物线上.
（3）在抛物线外.
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）.
（2）.
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.
【典例例题】
例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，焦距，
所以.
故选：C
例2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，∴，可得焦点坐标为.
故选：C．
例3．（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，
故长轴长为2=4．
故选：B.
例4．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的半焦距为c．
∵椭圆的焦点为，∴．
又双曲线C：的离心率为，
∴，即，解得，则，
故双曲线C的方程为．
故选：．
例5．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的周长为，即，离心率为，故，，所以椭圆的方程为.
故选：D.
例6．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为的准线为，
所以双曲线的一个焦点为，即，
由题意可知，即，
所以，
所以，，
所以顶点到渐近线的距离为.
故选：D．
例7．（2023秋·河北邢台·高二统考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线C的一个焦点为，因为双曲线C的渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为．因为，所以，，又，所以双曲线C的离心率为.
故选：B.
例8．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的方程知，，，则、
由椭圆的定义知，，
所以，
又∵
∴，即：的最大值为11.
故选：D.
例9．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）双曲线的一条渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线，
所以，
又因为焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故选：D
例10．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为
由抛物线的定义可得，
故选：B
例11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】抛物线C：的焦点，准线方程，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.
故选：B
例12．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】设抛物线C的准线与x轴交于点Q，
过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H，

∴，，由抛物线的定义知，
∵，∴，，
∴，解得．
故选：D．
例13．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（    ）
A．圆
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的双曲线
【答案】ABC
【解析】对于A，当，即时，方程可化为，该方程表示圆，故A正确；
对于B，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；
对于C，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
对于D，因为由得无解，
所以当方程化为时，由于，，
所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误.
故选：ABC.
例14．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【解析】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；
若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；
若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．
故选．
例15．（2023·陕西西安·统考一模）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.
【答案】2或18
【解析】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：，
∴由抛物线的定义知，，
∴点A的横坐标为，则，
又∵点A在抛物线上，
∴，解得：或.
故答案为：2或18.
例16．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆，过左焦点F作直线交C于A，B两点，连接（O为坐标原点）并延长交椭圆于点D，若，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】
【解析】设右焦点为,连接,由故，由,所以四边形为平行四边形，由于，进而可得四边形为矩形，
设，则，因此，
在直角三角形中，,即 ，解得，所以，故，故 ，即，
故答案为：

例17．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是_______．
【答案】
【解析】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），
设，，
由，相减得，
∴，即，
直线方程为，即，
故答案为：．

【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东烟台·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为的直线交椭圆于、两点，则的周长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在椭圆中，，
所以，的周长为.
故选：D.
2．（2023·山东潍坊·高二统考期末）设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（    ）
A．2a B．2b C．4a D．4b
【答案】C
【解析】椭圆的两个焦点为，，显然椭圆的弦PQ经过点，
由椭圆的定义得，的周长.
故选：C
3．（2023·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故选：C.
4．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
5．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）椭圆上一点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为（   ）
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【解析】设椭圆的左右焦点分别为，由定义可知：，
因为椭圆方程为，所以，
则，由题意知点到一个焦点的距离为7，
则点到另一个焦点的距离为，
故选：.
6．（2023·江苏盐城·高二校考期末）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（    ）
A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为
C．点到原点的距离的最大值为 D．椭圆的离心率为
【答案】B
【解析】由椭圆方程得：，，；
对于A，点到右焦点距离的最大值为，A正确；
对于B，焦距为，B错误；
对于C，点到的距离的最大值为，C正确；
对于D，椭圆的离心率，D正确.
故选：B.
7．（2023·甘肃兰州·高二校考期末）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ）
A．20 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【解析】由，得，得，
所以的周长为，
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
故选：B
9．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设内切圆的半径为，
由题意得：，，，故，
因为为椭圆上的一点，故，
所以，
又，
则，所以．
故选：C
10．（2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由题意，，，即，，
整理可得，，则，解得.
故选：A.
11．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故实数的取值范围是.
故选：A.
12．（2023·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ）
A． B． C．或 D．或1
【答案】D
【解析】焦距为2，即.
当焦点在上时，，得；
当焦点在上时，，得；
综合得或.
故选：D.
13．（2023·山西运城·高二统考期末）椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则，
故椭圆的离心率是.
故选：A.
14．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）椭圆的焦点坐标是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，
，，∴，
∴椭圆的焦点坐标是．
故选：A．
15．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】D
【解析】由条件可知，，，且，解得：.
故选：D
16．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
解得，
即命题为真时，；
方程表示焦点在轴上的双曲线，则，
解得，
即命题为真时，；
若为真，则命题和命题均为真，
，
故选：A.
17．（2023·安徽淮北·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为在椭圆上，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：A.
18．（2023·山东烟台·高二统考期末）若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的标准方程为，
由题可知，，解得，，
故椭圆的标准方程为．
故选：A.
19．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由化简可得，
焦点为在轴上，
同时又过点，设，
有，解得，
故选：C
20．（2023·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，
因为，则，所以，，
设点，其中或，
则，
若点在双曲线的右支上，则，则，
当点在双曲线的左支上，则，则.
由双曲线的定义可知，解得（舍）或.
故选：D.
21．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】题知，，双曲线的焦点在轴上，
则，
所以双曲线C的渐近线方程为．
故选：D．
22．（2023·辽宁营口·高二统考期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，
故双曲线的标准方程为.
故选:A.
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
【答案】D
【解析】令，解得，
所以，
因为点A在双曲线上，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以m-n的最大值为4
故选：D
24．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（    ）
A．2 B． C．8 D．4
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
设A在x轴上方，则，，
∴，．
又∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A.
25．（2023·江西上饶·高二统考期末）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
26．（2023·河北邢台·高二统考期末）已知点，抛物线的焦点为F，射线与抛物线C相交于点M，与其准线交于点N，若，则（    ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由抛物线可得焦点，

过M作C的准线的垂线，垂足为K．则，因为，
所以，所以直线的斜率为，
由，得．
故选:D
27．（2023·广东广州·高二统考期末）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为（    ）
A． B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意可得：抛物线开口向右，
焦点坐标为，准线方程为：，
因为抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：
，解之可得：，
故选：.
28．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的标准方程为，，，
抛物线的焦点坐标为．
故选：D．
29．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若,则该双曲线的离心率为(    )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题知,抛物线焦准距
设,由,得,所以
不妨设点在第一象限,则
双曲线焦半距,焦点是
根据双曲线的定义,所以
所以离心率
故选:A
30．（2023·湖南张家界·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为抛物线，所以焦点坐标为，
所以解得，所以此抛物线的方程为.
故选：B.
31．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点在轴上，可设其方程为，代入点，
，解得，所以抛物线的方程为.
故选：D.
32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为抛物线过点，所以，
抛物线的焦点为，
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
33．（2023·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（    ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，则由解得，
所以点的横坐标为3.
故选：A
34．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，
故选：A
35．（2023·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，
设，则，两式相减得，
整理得，因为MN的中点为，则，
所以，所以直线l的方程为即.
故选：A
36．（2023·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
二、多选题
37．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
【答案】BC
【解析】由于，所以，
对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,
对于B,当时，是双曲线，故B正确,
对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,
故选:BC
38．（2023·浙江宁波·高二统考期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】BC
【解析】显然且，
若，即时，此时表示椭圆；
若，即时，此时表示双曲线；
若，此时无解，
综上：方程表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.
故选：BC
39．（2023·山东烟台·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的有（    ）
A．若曲线表示椭圆，则或
B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C．若曲线表示双曲线，则
D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
【答案】BCD
【解析】对于A选项， 若曲线表示椭圆，则，解得，A错；
对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为，
椭圆的焦距为，B对；
对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对；
对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为，
双曲线的焦距为，D对.
故选：BCD.
40．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
【答案】CD
【解析】因为拋物线，故的坐标为故A错误；
由于直线不一定过焦点，所以不是经过焦点的弦长，故B错误；
若，故，即或（舍去），
因为直线，即，得，故直线经过定点C正确；
点设过的切线方程为，联立 ，所以，故 或，所以方程的根为，
故切线的斜率分别为和，故，
，
可得直线，即，故D正确；
故选:CD.
41．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】联立，消去y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为，故A，D符合题意.
故选：AD.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于选项A，设直线的方程为，代入，
可得，所以，，选项A正确；
对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得，
由选项A知，，，
所以.
即，解得，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，也适合上式，所以，选项B正确；
对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影，
，
所以，同理可得，
所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确；
对于选项D，由上可知：，，
所以，选项D不正确，
故选：ABC.

三、填空题
43．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______．
【答案】4
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，则，
又因为，所以，故，
设，由，得，
将代入椭圆方程解得，
故.
故答案为：4.
44．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.
【答案】3
【解析】因为为椭圆的焦点，
所以，，
所以由，
所以椭圆的标准方程为：，
如图所示：

因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，
故当处于右顶点时最大，
且最大值为，
故答案为：3.
45．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆上的点.若，是椭圆的两个焦点，则等于________________.
【答案】10
【解析】∵
∴
∴
∴由椭圆的定义知，.
故答案为：10.
46．（2023·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.
【答案】或
【解析】设点，则到轴的距离为，
因为，，
，
当或时，
则，得，
，即到轴的距离为．
当时，
则，
，
，
，
由（1）（2）知：到轴的距离为或，
故答案为：或．
47．（2023·河北保定·高二统考期末）已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则三角形的周长为___________．
【答案】18
【解析】由题意的半长轴，半焦距 ，
如图示，设椭圆右焦点为,连接，

由于是上关于原点对称的两点，则，
因为，O为的中点，故 ，
而，
故三角形的周长为,
故答案为：18
48．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.
【答案】12
【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，
连接，

所以周长为
故的周长的最大值为12，
故答案为：12.
49．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
从而．
故答案为：
50．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】易得，
则，
即，
故
,
故答案为：.
51．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．
【答案】4
【解析】因为点在上，
所以有，
由，当且仅当时取等号，
故答案为：4
52．（2023·江苏连云港·高二统考期末）经过两点的椭圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】设椭圆为，代入两点得，解得.
故椭圆的标准方程为.
故答案为：.
53．（2023·高二课时练习）经过和两点的椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】设椭圆的方程为，
则，解得，
所以该椭圆的标准方程为.
故答案为：.
54．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O是坐标原点，，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，M是E上一点，，且的面积为，则E的离心率为______．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，，
∵，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，
由得，，
∴，∴，
∴离心率．
故答案为：.
55．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知为坐标原点，为双曲线（，）的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为______．
【答案】或
【解析】设双曲线的右焦点为，
当时，如图，连接，

为等腰直角三角形，所以，，
所以，  ，
则双曲线的离心率为 .
当时，如图，连接，

又为等腰直角三角形，所以，，
在中，， 由余弦定理得 ，
所以 ，，
双曲线的离心率为 .
故答案为：或.
56．（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，
由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，
又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6，
故，所以，
故双曲线标准方程为.
故答案为：.
57．（2023·高二课时练习）经过两点，，且焦点在x轴上的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】设焦点在轴上的双曲线方程为，，
过点和，则，解得，
故方程为.
故答案为：
58．（2023·高二课时练习）点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】根据题意，轨迹为焦点在轴的双曲线的右支，，，，
故，故轨迹方程为：.
故答案为：
59．（2023·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______
【答案】
【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，
由焦距为4得，故，
故C的渐近线方程为.
故答案为：.
60．（2023·高二课时练习）双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，
所以，即，又，
所以，故，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
61．（2023·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线的一个离心率______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，
所以离心率，
当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，
所以离心率，
综上，可得双曲线的离心率为或.
故答案为：（答案不唯一）.
62．（2023·陕西榆林·高二统考期末）过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意得，
由正三角形可知 ，
即 ，即 ，则
，
故答案为：2.
63．（2023·山西临汾·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且，为坐标原点，则的面积为________.
【答案】
【解析】由题知，所以，抛物线方程为，
易得直线的斜率存在，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，则，.
因为，所以，所以，
所以，故，即
所以，
故答案为：.
64．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
【答案】
【解析】由以及可知,故为等边三角形，所以 因此故，所以，
故答案为：

65．（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，
所以，
又因为弦的中点为，所以，
故直线斜率，
则所求直线方程为，整理得，
由得，
，故该直线满足题意，
故答案为：
66．（2023·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则______.
【答案】
【解析】由题知，设直线的方程为：，
，，联立可得
，，
，从而，
.
故答案为：
67．（2023·高二课时练习）直线与椭圆相交于A、B两点，则______．
【答案】
【解析】联立，消去，整理得，解得，
因此 ，
故.
故答案为：.
68．（2023·湖北·校联考模拟预测）过抛物线焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若，则p的值为______.
【答案】3
【解析】过点作准线于点M，则，
∵，

∴，
由可得：，即，
解得：，
故答案为：3
69．（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．
【答案】3
【解析】由，故，
不妨令，代入可得，
所以，故弦长为.
故答案为：3
70．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
【答案】
【解析】由抛物线的方程可得，准线方程为，
设，由题意可得，则，解得n＝3，
将代入抛物线方程可得，解得，即，
则，所以的面积.
故答案为：．

71．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则b=______．
【答案】3
【解析】设，
由于，所以，
，
所以.
故答案为：
72．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为__________，的最小值为___________．
【答案】     12    
【解析】椭圆中， 即，
因为 ，所以 ，所以，
又，所以，所以的最小值为12．
又，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：
73．（2023·高二课时练习）如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是______，最小值是______．
【答案】     10     2
【解析】由椭圆方程可得，，则.
则当点位于右端点时，；
当点位于左端点时，.
故答案为：10；2