2024年高考数学第一轮复习专题40 等差数列、等比数列综合运用（原卷版）

专题40 等差数列、等比数列综合运用  

【典型例题】

例1．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023秋·青海西宁·高三校考期末）设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（    ）

A．-1 B．-3 C．-5 D．-7

例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（    ）

A．已知数列是等差数列，则数列是等比数列

B．已知数列是等比数列，则数列是等差数列

C．已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列

D．已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列

例4．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则__________．

例5．（2023·全国·模拟预测）在数列中，a2=5，数列是首项为2，公差为4的等差数列，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前n项和Sn.

例6．（2023·全国·高二专题练习）已知公差不为0的等差数列满足：①，②成等比数列；③．从①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立．

例7．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知等比数列满足，且，为数列的前项和.

(1)求的通项公式；

(2) （）能否构成等差数列，若能，则求的值；若不能，则说明理由.

例8．（2023·全国·高三专题练习）设{an}是首项为1的等比数列，已知a1，3a2，9a3成等差数列，求等比数列{an}的公比.

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是一个公比为的等比数列，是数列的前n项和，再从条件①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题:条件①:成等差数列;条件②:;条件③:.

(1)求数列的通项公式;

(2)令，求数列的前n项和的最小值.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项之积为.

(1)求数列的通项公式;

(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.

请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

例11．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.

(1)求数列，通项公式

(2)设数列中满足，求和

例12．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记数列的前20项的和为，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列和等差数列，满足，则（   ）

A． B．1 C．4 D．6

2．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ）

A．7 B．12 C．15 D．31

3．（2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（    ）

A．或2 B．2 C．1或 D．1

4．（2023·全国·高三专题练习）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）

A．1 B． C． D．2

5．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则（    ）

A．7 B．4 C．1 D．–2

6．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ）．

A． B． C．171 D．

7．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，的前n项和为，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．

8．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列与各项均为整数的等比数列的首项分别为，且，.将数列，中所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（重复的项只计一次），则数列的前40项和为（    ）

A．1843 B．2077 C．2380 D．2668

9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，成等差数列，则公比（    ）

A． B． C． D．1

11．（2023·全国·高三专题练习）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．96 B．102 C．118 D．126

12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ）

A．1 B． C． D．

13．（2023·全国·高三专题练习）已知1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，则的值是（　　）

A． B． C．2 D．1

二、多选题

14．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）下列命题正确的是（    ）

A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列

B．为等比数列，其前项和为，则也成等比数列

C．为等差数列，则为等比数列

D．的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件

15．（2023·全国·高三专题练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ）

A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列

B．若数列的前n项和，则数列为等比数列

C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列

D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列

16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

17．（2023·全国·高三专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A．

B．数列是等比数列

C．

D．数列是公差为2的等差数列

三、填空题

18．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）在等差数列中，公差不为，，且，，成等比数列，当______时，数列的前项和有最大值.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．

21．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，前n项和为，若，，构成等比数列，则___________.

22．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________．

23．（2023·全国·高三专题练习）公比不为1的等比数列中，若成等差数列，则数列的公比为__________.

24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则______.

25．（2023·全国·高三专题练习）写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列．

26．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．

27．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）等比数列中，，，成等差数列，若，则公比 __________．

28．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.

29．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____

30．（2023春·天津·高三校联考阶段练习）等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则=_________．

四、解答题

31．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.

(1)证明：是等差数列；

(2)若，，成等比数列，求的最小值.

32．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，，求．

33．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.

(1)求；

(2)求数列的前项和.

34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.

(1)求数列和的通项公式；

(2)记数列满足：，求数列的前项和.

35．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若集合，且，求中所有元素之和.

36．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.

(1)求的通项；

(2)若，求的前项和.

37．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）设数列为等差数列，，数列为等比数列，其中．

(1)求，的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

38．（2023·重庆·统考一模）已知数列是各项均为正数的等比数列，设.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.

39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，且，前四项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.

(1)求数列和的通项公式：

(2)求数列的前项和.