2024年高考数学第一轮复习专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（原卷版）

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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法【考点预测】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为.②若，解集为.③若，解集为.(2) 当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法题型二：含参数一元二次不等式的解法题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式题型四：其他不等式解法题型五：二次函数根的分布问题题型六：一元二次不等式恒成立问题【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（m是常数）的图象过点．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．    例2．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________. 例3．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则___________． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．（用区间表示） 【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则关于x的不等式的解集是（　　）A．或 B．或C． D． 例5．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（    ）A． B．C．或 D．或 变式2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（    ）A．或 B．{x|x>a}C．或 D． 变式4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________. 【方法技巧与总结】1、数形结合处理．2、含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例7．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则b的值为___． 例8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．    例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则__________． 变式5．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 变式6．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______. 变式7．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D． 【方法技巧与总结】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．题型四：其他不等式解法例18．（2023·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______． 例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________. 例11．（2023·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________. 【方法技巧与总结】1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．2、根式不等式绝对值不等式平方处理．题型五：二次函数根的分布问题例12．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 例13．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 例14．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 变式8．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.    【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.题型六：一元二次不等式恒成立问题例15．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．    例16．（2023·全国·高三专题练习）关于实数x的不等式．(1)若，求该不等式解集；(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．    例17．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)b为何值时，的解集为R．    变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知.（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.    【方法技巧与总结】分离参数或数形结合【过关测试】一、单选题1．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知集合，，则=（    ）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（    ）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习），，，则（    ）A． B． C．或 D．或4．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．或5．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ）A．4 B．7 C．8 D．166．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A． B．C． 或 D．或7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知的解集为，则的值为（    ）A．1 B．2 C．-1 D．-210．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（    ）A． B．0 C．1 D．212．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为13．（2023·全国·高三专题练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．14．（2023·全国·高三专题练习）恒成立，a的值可以为（    ）A． B． C． D．415．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ）A． B． C． D．16．（2023·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）A． B． C． D．三、填空题17．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集是____．18．（2023·全国·高三专题练习）若对恒成立，则实数a的取值范围为___.19．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.21．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．22．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．四、解答题23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.    24．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为．求(1)常数的值(2)不等式的解    25．（2023·全国·高三专题练习）请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值.    26．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的最小值．（2）求关于x的不等式的解集：．    27．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．(1)当时，求不等式的解集.(2)当时，求不等式的解集.    28．（2023·全国·高三专题练习）设，：实数满足.(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.    29．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.