2024年高考数学第一轮复习专题06 函数的概念（原卷版）

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专题06函数的概念
【考点预测】
1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
（3）函数表示法：函数书写方式为，
（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．
（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．
2、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
3、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
4、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：同一函数的判断
题型三：给出函数解析式求解定义域
题型四：抽象函数定义域
题型五：函数定义域的应用
题型六：函数解析式的求法
1、待定系数法（函数类型确定）
2、换元法或配凑法（适用于了型）
3、方程组法
题型七：函数值域的求解
1、观察法
2、配方法
3、图像法
4、基本不等式法
5、换元法
6、分离常数法
7、判别式法
题型八：分段函数的应用
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ）
A． B．
C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（    ）
A． B． C． D．

变式1．（2023春·福建龙岩·高三校考阶段练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个

变式2．（2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（    ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）

【方法技巧与总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例4．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，

例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ）
A．， B．，
C．， D．，

例6．（2023·全国·高三专题练习）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，

变式3．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，

【方法技巧与总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．

例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的定义域为（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．

例11．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ）
A． B．
C． D．

例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
1、待定系数法（函数类型确定）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________

例17．（2023·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②；
③任取，，，．

例18．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．




变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式.




2、换元法或配凑法（适用于了型）
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，求.




变式9．（2023·全国·高三专题练习），则_______．

变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_______．

变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则的表达式为（    ）
A． B． C． D．

3、方程组法
变式12．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数，均有，求___________

变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式___________.

变式14．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．

【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
题型七：函数值域的求解
1、观察法
例19．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．

例20．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．

例21．（2023·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为的是（       ）
A． B．
C． D．

2、配方法
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B．
C． D．

变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

3、图像法
变式17．（2023·全国·高三专题练习）函数，的值域是（       ）
A． B． C． D．

4、基本不等式法
变式18．（2023·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（       ）
A． B．
C． D．

变式19．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．

5、换元法
变式20．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ）
A． B． C． D．

变式21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（   ）
A． B． C． D．

变式22．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．

6、分离常数法
变式23．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）

变式24．（2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（       ）
A． B．
C． D．

7、判别式法
变式25．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．

变式26．（2023·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.

【方法技巧与总结】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
题型八：分段函数的应用
例22．（2023·青海海东·统考一模）若函数，则（    ）
A． B． C． D．

例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．

变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A． B．2 C．5 D．3

变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，则m的值为（    ）
A． B．2 C．9 D．2或9

变式29．（2023·全国·高三专题练习）知函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．

【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数满足，则的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，则（    ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的图象是（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）．
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（    ）
A．与 B．与
C．与 D．与
12．（2023·全国·高三专题练习）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（    ）

A．是从集合到集合的函数
B．不是从集合到集合的函数
C．的定义域为集合，值域为集合
D．
13．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（   ）

A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
15．（2023·全国·高三专题练习）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ）

A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ）
A． B．
C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）下列各对函数中是同一函数的是（    ） ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0
B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
三、填空题
18．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域是________．
19．（2023·上海·高三专题练习）函数的定义域为___．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则________.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域是______________（用区间表示）
四、解答题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.




24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.




25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．




26．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.




27．（2023春·新疆·高三八一中学校考阶段练习）求解下列问题：
(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式.
(2)已知是定义在上的偶函数，当时，.
①求的值；
②求的解析式.




28．（2023春·贵州黔西·高三校考阶段练习）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.