2024年高考数学第一轮复习专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（原卷版）

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专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【考点预测】一、证明不等式常用的方法和思路作差构造函数，转化为最值问题二、不等式恒成立问题常用的方法和思路(1)直接法(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；三、零点问题常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【题型归纳目录】题型一：证明不等式题型二：恒成立问题题型三：零点问题【典例例题】题型一：证明不等式1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）证明：当时，．    2．（2023春·广东广州·高二校考阶段练习）求证：．    3．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.    题型二：恒成立问题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.    5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.    6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求的取值范围.    题型三：零点问题7．（2023·四川·高三统考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．    8．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.    9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论函数在区间内的单调性；(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．    【过关测试】一、单选题1．（2023·北京石景山·高一统考期末）已知函数，则的零点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（    ）A． B．C．或 D．或或3．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则（    ）A．在区间，内均有零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）7．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，则函数零点的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．与a有关8．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（    ）A． B． C．0 D．110．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则t的最小值为2D．当时，方程有且只有两个实根11．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．12．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　A．2 B．1 C．0 D．三、填空题13．（2023·湖南岳阳·高二统考期末），若关于x的方程在上有根，则实数m的取值范围是 _____．14．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，，使不等式成立，则的取值范围是______.16．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；(2)求曲线过点的切线方程．    18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k的值；(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：     19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恰有一个零点，求a的值．    20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；(2)讨论f（x）的单调性.    21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)记的两个极值点为，，求证：.    22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．